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Questões da UFRGS

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  1. Não envie somente enunciados de problemas, informe suas tentativas e dificuldades!

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Questões da UFRGS

Mensagempor Neperiano » Qua Fev 11, 2009 18:32

Ola

Como prometi vou postar aqui algumas questões do Vestibular 2008 da UFRGS, terceiro melhor do Brasil, cuja prova de Matemática é considerada a mais Dificel.

Ai vai:

1 - O custo de uma embalagem é diretamente proporcional à superfície do sólido que se deseja embalar. Se o custo para embalar um cubo de 40 cm de aresta é R$10,00, a embalagem de um cubo de 80 cm de aresta custa, em reais,
(A) 15.
(B) 20.
(C) 25.
(D) 40.
(E) 80.

2 - Em março de 2007, o menor preço oferecido por uma companhia telefônica para uma ligação do Brasil para os Estados Unidos era de R$0,95 o minuto. O mesmo serviço pela internet custava R$0,05 o minuto e mais R$0,10 da taxa de conexão da chamada. Em ambas as situações, o preço por segundo correspondia a do preço por minuto.
Nessas condições, para que uma ligação telefônica, do Brasil para os Estados Unidos, tivesse um custo menor via companhia telefônica do que via internet, a duração dessa ligação deveria ser, em número inteiro de segundos, no máximo, de
(A) 6.
(B) 7.
(C) 8.
(D) 9.
(E) 10.

3 - Um hexágono regular tem lado de comprimento 1. A soma dos quadrados de todas as suas diagonais é
(A) 6.
(B) 12.
(C) 18.
(D) 24.
(E) 30.

4 - Numa seqüência de quadrados, o primeiro tem lado igual a 1, e o lado de cada um dos seguintes é igual à diagonal do quadrado anterior.

A soma das áreas dos dez primeiros quadrados dessa seqüência é
(A) 1023.
(B) 1024.
(C) 2047.
(D) 2048.
(E) 4096.


5 - O polinômio p(x)= x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4= +1 tem
(A) apenas duas raízes reais distintas.
(B) apenas duas raízes positivas.
(C) todas as raízes positivas.
(D) quatro raízes iguais.
(E) quatro raízes distintas.

6 - Traçando-se os gráficos das funções definidas por f(x) = 2 sen x e g(x) = 16 -x^2 e num mesmo sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, pode-se verificar que o número de soluções da equação f(x) = g(x)é
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.
(E) 4.
Sómente os mortos conhecem o fim da guerra
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Re: Questões da UFRGS

Mensagempor Molina » Sáb Fev 14, 2009 05:11

Boa noite, Maligno.

Como o pessoal aqui não anda com muito tempo para resolver essas questões, vou postar a solução (de todas que eu conseguir resolver):

1) Essa questão te induz a pensar que duplicando a aresta do cubo a área da superfície duplicará também. Isto não é verdade. Neste caso um cubo de 40cm de aresta tem superfície de 9600cm² (custando R$ 10,00) e um cubo de 80cm de aresta tem superfície de 38400cm², que é o quádruplo de 9600cm², ou seja, o valor deve ser multiplicado por 4 também. Com isso concluimos que custará R$ 40,00.

2) Verificar quanto é o gasto por segundo dos dois modos de comunicação:
Telefone = 1,58333 centavos por minuto
Internet = 0,08333 centavos por minuto (porém pága-se 10 centavos da taxa)
Ou seja, utilizando 1 segundo o telefone eu gastaria apenas 1,58333 centavos e utilizando 1 segundo a internet eu gastaria 10,08333. O maior número que posso multiplicar 1,58333 para ser menor que 10,08333 é 6:
1,58333 * 6 = 9,49998 < 10,08333
1,58333 * 7 = 11,08331 > 10,08333

3) Um hexágono regular possui 3 diagonais. A diagonal de um hexágono regular é 2 vezes o tamanho do raio de um circulo circunscrito nesse polígono. O lado de um hexágono regular é igual ao raio de um circulo circunscrito nesse hexágono: LADO = RAIO (formando 6 triângulos equiláteros dentro do hexágono).
Lado = 1 \rightarrow Raio = 1 \rightarrow Diagonal = 2 \rightarrow 2² + 2² + 2² = 12

4) Primeiramente quando li achei que seria o problema mais difícil dessa lista. Mas não, é bem simples: Começando pelo primeiro quadrado de lado 1, tem-se área igual a 1 também. Lembre-se da fórmula da diagonal do quadrado, dada por D = \ell\:\sqrt[]{2}. Logo você percebe que a área do segundo quadrado é 2, do terceiro é 4, do quarto é 8, ... , caindo numa PG de razão 2. Usando a fórmula da soma de uma PG finita chega-se ao resultado de 1023.

5) :?: :?: :?:

6) Construi o gráfico das duas, e se não errei na contrução deles eles terão apenas 2 pontos onde f(x) = g(x).

Abraços! :y:
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Re: Questões da UFRGS

Mensagempor FilipeCaceres » Sex Mai 13, 2011 01:24

Considerando que x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4= +1 seja x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4 +1 então é fácil perceber que:

x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4+1=(x+1)^4

Portanto,as quatro raízes iguais.

Resposta: \text{Letra D}.

Abraço.
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D