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Questões da UFRGS

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Questões da UFRGS

Mensagempor Neperiano » Qua Fev 11, 2009 18:32

Ola

Como prometi vou postar aqui algumas questões do Vestibular 2008 da UFRGS, terceiro melhor do Brasil, cuja prova de Matemática é considerada a mais Dificel.

Ai vai:

1 - O custo de uma embalagem é diretamente proporcional à superfície do sólido que se deseja embalar. Se o custo para embalar um cubo de 40 cm de aresta é R$10,00, a embalagem de um cubo de 80 cm de aresta custa, em reais,
(A) 15.
(B) 20.
(C) 25.
(D) 40.
(E) 80.

2 - Em março de 2007, o menor preço oferecido por uma companhia telefônica para uma ligação do Brasil para os Estados Unidos era de R$0,95 o minuto. O mesmo serviço pela internet custava R$0,05 o minuto e mais R$0,10 da taxa de conexão da chamada. Em ambas as situações, o preço por segundo correspondia a do preço por minuto.
Nessas condições, para que uma ligação telefônica, do Brasil para os Estados Unidos, tivesse um custo menor via companhia telefônica do que via internet, a duração dessa ligação deveria ser, em número inteiro de segundos, no máximo, de
(A) 6.
(B) 7.
(C) 8.
(D) 9.
(E) 10.

3 - Um hexágono regular tem lado de comprimento 1. A soma dos quadrados de todas as suas diagonais é
(A) 6.
(B) 12.
(C) 18.
(D) 24.
(E) 30.

4 - Numa seqüência de quadrados, o primeiro tem lado igual a 1, e o lado de cada um dos seguintes é igual à diagonal do quadrado anterior.

A soma das áreas dos dez primeiros quadrados dessa seqüência é
(A) 1023.
(B) 1024.
(C) 2047.
(D) 2048.
(E) 4096.


5 - O polinômio p(x)= x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4= +1 tem
(A) apenas duas raízes reais distintas.
(B) apenas duas raízes positivas.
(C) todas as raízes positivas.
(D) quatro raízes iguais.
(E) quatro raízes distintas.

6 - Traçando-se os gráficos das funções definidas por f(x) = 2 sen x e g(x) = 16 -x^2 e num mesmo sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, pode-se verificar que o número de soluções da equação f(x) = g(x)é
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.
(E) 4.
Sómente os mortos conhecem o fim da guerra
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Re: Questões da UFRGS

Mensagempor Molina » Sáb Fev 14, 2009 05:11

Boa noite, Maligno.

Como o pessoal aqui não anda com muito tempo para resolver essas questões, vou postar a solução (de todas que eu conseguir resolver):

1) Essa questão te induz a pensar que duplicando a aresta do cubo a área da superfície duplicará também. Isto não é verdade. Neste caso um cubo de 40cm de aresta tem superfície de 9600cm² (custando R$ 10,00) e um cubo de 80cm de aresta tem superfície de 38400cm², que é o quádruplo de 9600cm², ou seja, o valor deve ser multiplicado por 4 também. Com isso concluimos que custará R$ 40,00.

2) Verificar quanto é o gasto por segundo dos dois modos de comunicação:
Telefone = 1,58333 centavos por minuto
Internet = 0,08333 centavos por minuto (porém pága-se 10 centavos da taxa)
Ou seja, utilizando 1 segundo o telefone eu gastaria apenas 1,58333 centavos e utilizando 1 segundo a internet eu gastaria 10,08333. O maior número que posso multiplicar 1,58333 para ser menor que 10,08333 é 6:
1,58333 * 6 = 9,49998 < 10,08333
1,58333 * 7 = 11,08331 > 10,08333

3) Um hexágono regular possui 3 diagonais. A diagonal de um hexágono regular é 2 vezes o tamanho do raio de um circulo circunscrito nesse polígono. O lado de um hexágono regular é igual ao raio de um circulo circunscrito nesse hexágono: LADO = RAIO (formando 6 triângulos equiláteros dentro do hexágono).
Lado = 1 \rightarrow Raio = 1 \rightarrow Diagonal = 2 \rightarrow 2² + 2² + 2² = 12

4) Primeiramente quando li achei que seria o problema mais difícil dessa lista. Mas não, é bem simples: Começando pelo primeiro quadrado de lado 1, tem-se área igual a 1 também. Lembre-se da fórmula da diagonal do quadrado, dada por D = \ell\:\sqrt[]{2}. Logo você percebe que a área do segundo quadrado é 2, do terceiro é 4, do quarto é 8, ... , caindo numa PG de razão 2. Usando a fórmula da soma de uma PG finita chega-se ao resultado de 1023.

5) :?: :?: :?:

6) Construi o gráfico das duas, e se não errei na contrução deles eles terão apenas 2 pontos onde f(x) = g(x).

Abraços! :y:
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Re: Questões da UFRGS

Mensagempor FilipeCaceres » Sex Mai 13, 2011 01:24

Considerando que x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4= +1 seja x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4 +1 então é fácil perceber que:

x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4+1=(x+1)^4

Portanto,as quatro raízes iguais.

Resposta: \text{Letra D}.

Abraço.
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.