Taxa de variação

por **manuela** » Qui Out 18, 2012 20:02

A temperatura em graus Celsius num ponto (x,y,z) de um sólido metálico é dado por:
$T(x,y,z)= \frac{xyz}{1+x^2+y^2+z^2}$

a) Determine a taxa de variação da temperatura no ponto (1,1,1) na direção e sentido à origem.
b) Determine a direção e o sentido em que a temperatura cresce mais rapidamente a partir do ponto (1,1,1).
c) Determine a taxa de variação da temperatura no ponto (1,1,1), na direção e no sentido obtido no item b.

Bom, só consegui fazer a letra a. Calculei o vetor gradiente e multipliquei pelo ponto dado.
Mas não estou conseguindo fazer os outros itens.
Poderiam me ajudar?

por **MarceloFantini** » Qui Out 18, 2012 21:22

Para calcular a taxa de variação você calcula a derivada direcional no vetor dado. A direção e sentido que a taxa de variação crescerá mais rapidamente será dada pelo gradiente da função, enquanto que o valor será o módulo do gradiente.

por **manuela** » Sex Out 19, 2012 16:51

Para calcular a taxa de variação, calculei o vetor gradiente de T no ponto dado: (1,1,1). Mas como calculo o vetor u para poder multiplicar o vetor gradiente achando a taxa de variação?

por **MarceloFantini** » Sex Out 19, 2012 22:02

Seja $\vec{u}$ um vetor unitário. Então pela definição de taxa de variação (ou derivada direcional) temos que

$D_u T(x_0,y_0,z_0) = | \nabla T(x_0,y_0,z_0) | | \vec{u} | \cos \theta = | \nabla T(x_0,y_0,z_0) | \cos \theta$ .

Esta direção será máxima se e somente se esta expressão será máxima, que ocorre em $\theta = 0$ , pois $\cos \theta = 1$ . Portanto a taxa de variação na direção máxima faz ângulo zero com o vetor gradiente, ou seja, é o próprio vetor gradiente, e seu valor é $| \nabla T(x_0,y_0,z_0) |$ .

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