[Ajuda]Otimização

por **Jhonata** » Qua Jun 20, 2012 00:45

Alguém pode me ajudar na seguinte questão:

"Seja $\ell$ uma reta passando pelo ponto (1,1)

com inclinação negativa. Considere o triângulo retâgulo ABC

obtido tomando A = (0, 0)

e BC o segmento da reta $\ell$ contido no primeiro quadrante. Ache as dimensões do triângulo ABC

para que sua hipotenusa seja mínima"

Não estou conseguindo encontrar as relações e a função que tenho que derivar para aplicar o Teorema do Intervalo Fechado e o teste da primeira derivada...
Grato desde já!

.

por **Russman** » Qua Jun 20, 2012 01:43

Bom, a sua reta é da forma

f(x) = -ax+b

, onde

é uma constante positiva.

Como a reta passa pelo ponto (1,1)

, então sabemos que b-a= 1

.

Agora você precisa calular o comprimento da hipotenusa do triângulo ABC

. Este será a distancia entre os pontos B(0,f(0))

e $C(x_{0},0)$ , tal que $f(x_{0}) = 0 \Rightarrow -ax_{0} + b = 0 \therefore x_{0}=\frac{b}{a}$ e f(0) = b

. Assim,

$d^{2} =( x_{0} - 0)^{2} + (0 - f(0))^2 \Rightarrow d =\sqrt{ \left ((\frac{b}{a})^{2} +b^{2} \right )}$ .

Como sabemos que

e

se relacionam por b-a= 1

então podemos substituir a=b-1

na equação acima e teremos d=d(b)

, ou seja, a hipotenusa do triângulo unicamente como função de

.

$d^{2} = \left \frac{b^{2}}{a^{2}} +b^{2} = \frac{b^{2}+b^{2}(b-1)^{2}}{(b-1)^{2}} = \frac{b^{4}-2b^{3}+2b^{2}}{(b-1)^{2}}$ .

Agora, para minimizar (ou maximizar)

você precisa calcular que valor de

que zera a sua derivada com relação a

.

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} b}d^{2} =\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} b}\left (\frac{b^{4}-2b^{3}+2b^{2}}{(b-1)^{2}} \right ) \Rightarrow \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} b}d = \frac{1}{2d} . \frac{2b}{(b-1)^3}(b^{3} - 3b^{2}+3b-2)$ .

Para que $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} b}d = 0$ precisamos que

$\left\{\begin{matrix} b^{3} - 3b^{2}+3b-2=0\\ or\\ b=0 \end{matrix}\right.$

A solução b=0

não é válida pois de b-a = 1

chegamos em a=-1

oque é um absurdo, pois por hipótese a >0

.
Então vamos analisar a outra equação para calcular suas raízes. A sua única raíz real é b=2

. Portanto, as dimensôes do triângulo são

$\left\{\begin{matrix} AB = b=2\\ AC = x_{0} = \frac{b}{a} = \frac{2}{b-1} =\frac{2}{2-1} = 2 \\ BC = d=\sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{2} \end{matrix}\right.$

por **Jhonata** » Qua Jun 20, 2012 02:02

Nossa, eu nunca iria pensar nisso... Por isso não chegava em lugar algum. A resposta está corretíssima. De fato, a questão foi muito bem elaborada...
Muito obrigado!