substituição trigonometricax

por **gabrielnandi** » Qua Mai 30, 2012 18:45

Amgos..

olhem esta questao.. e se possivel me ajduem.
Use substituição trigonométrica para mostrar que
$\int_{}^{}{\frac{\sqrt{A^{2}-U^{2}}}{U}du}=\sqrt{A^{2}-U^{2}}+A ln\left|\right \frac{A-\sqrt{A^{2}-U^{2}}}{U}| +C$

por **LuizAquino** » Qui Mai 31, 2012 10:22

gabrielnandi escreveu:Amgos..

olhem esta questao.. e se possivel me ajduem.
Use substituição trigonométrica para mostrar que
$\int_{}^{}{\frac{\sqrt{A^{2}-U^{2}}}{U}du}=\sqrt{A^{2}-U^{2}}+A ln\left|\right \frac{A-\sqrt{A^{2}-U^{2}}}{U}| + C$

Faça a substituição $u = a\,\textrm{sen}\,x$ e $du = a\cos x\,dx$ :

$\int \frac{\sqrt{a^2 - u^2}}{u} \, du = \int \frac{\sqrt{a^2 - \left(a\,\textrm{sen}\,x\right)^2}}{a\,\textrm{sen}\, x} a\cos x \,dx$

$= \int \frac{\sqrt{a^2\left(1 - \,\textrm{sen}^2\,x\right)}}{\,\textrm{sen}\, x} \cos x \,dx$

$= \int \frac{a \cos^2 x}{\,\textrm{sen}\, x}\,dx$

$= a\int \frac{1-\,\textrm{sen}\,^2 x}{\,\textrm{sen}\, x}\,dx$

$= a\int \frac{1}{\,\textrm{sen}\, x}\,dx - a\int \,\textrm{sen}\,x\,dx$

A segunda integral é fácil. Já para a primeira, faça o seguinte procedimento:

$\int \frac{1}{\,\textrm{sen}\, x}\,dx = \int \frac{\,\textrm{sen}\,x}{\,\textrm{sen}^2\, x}\,dx = \int \frac{\,\textrm{sen}\,x}{1 - \cos^2 x}\,dx$

Fazendo a substituição $v = \cos x$ e $dv = -\,\textrm{sen}\,x\,dx$ , temos que:

$\int \frac{1}{\,\textrm{sen}\, x}\,dx = \int -\frac{1}{1-v^2}\,dv$

$= -\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+v}+\frac{1}{1-v}\,dv$

$= -\frac{1}{2}\left(\ln|1+v| - \ln|1-v|\right) + k$

$=-\frac{1}{2}\left(\ln|1+\cos x| - \ln|1-\cos x|\right) + k$

$=-\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\right| + k$

$=-\frac{1}{2}\ln\left|\frac{\left(1+\cos x\right)^2}{\left(1-\cos x\right)\left(1+\cos x\right)}\right| + k$

$=-\frac{1}{2}\ln\left|\frac{\left(1+\cos x\right)^2}{\,\textrm{sen}^2\,x}\right| + k$

$=-\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\cos x}{\,\textrm{sen}\,x}\right|^2 + k$

$=-\ln\left|\frac{1+\cos x}{\,\textrm{sen}\,x}\right| + k$

Voltando para o ponto no qual havíamos parado, temos que:

$\int \frac{\sqrt{a^2 - u^2}}{u} \, du = a\int \frac{1}{\,\textrm{sen}\, x}\,dx - a\int \,\textrm{sen}\,x\,dx$

$= -a\ln\left|\frac{1+\cos x}{\,\textrm{sen}\,x}\right| + a\cos x + c$

Agora tente continuar a partir daí.

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