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Ajuda de Calculo 2?

Ajuda de Calculo 2?

Mensagempor edu2012 » Ter Mai 29, 2012 16:38

Boa tarde, gostaria de um exemplo de integral imprópria quando ela converge ou Diverge até agora não estou entendendo.
um exemplo

∫ x+1/(x²+2x) dx
1
desde de já agradeço.
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Re: Ajuda de Calculo 2?

Mensagempor LuizAquino » Ter Mai 29, 2012 20:53

edu2012 escreveu:Boa tarde, gostaria de um exemplo de integral imprópria quando ela converge ou Diverge até agora não estou entendendo.
um exemplo

∫ x+1/(x²+2x) dx
1


Do jeito que você escreveu, a integral seria:

\int_1^{+\infty}x+\frac{1}{x^2 + 2x}\,dx

Mas ao que parece, a integral original seria:

\int_1^{+\infty}\frac{x + 1}{x^2 + 2x}\,dx

Se esse for o caso, então você deveria ter escrito algo como:

\int_1^{+\infty}(x + 1)/\left(x^2 + 2x\right)\,dx

Note a importância do uso adequado dos parênteses.

Supondo que essa seja a integral que você deseja calcular, a primeira coisa que você precisa fazer é resolver a integral indefinida. Nesse caso, você irá obter:

\int \frac{x + 1}{x^2 + 2x}\,dx = \frac{1}{2}\left(\ln|x| + \ln|x+2|\right) + c

Depois que você resolveu a integral indefinida, você pode partir para resolver a integral imprópria. Você deve seguir o seguinte procedimento:

\int_1^{+\infty} \frac{x + 1}{x^2 + 2x}\,dx = \lim_{t\to+\infty} \int_1^{t} \frac{x + 1}{x^2 + 2x}\,dx

= \lim_{t\to+\infty} \left[\frac{1}{2}\left(\ln|x| + \ln|x+2|\right)\right]_1^t

= \lim_{t\to+\infty} \frac{1}{2}\left(\ln|t| + \ln|t+2|\right) - \frac{1}{2}\left(\ln|1| + \ln|1+2|\right)

= \lim_{t\to+\infty} \frac{1}{2}\left(\ln|t| + \ln|t+2|\right) - \frac{1}{2}\left(\ln|1| + \ln|1+2|\right)

= \lim_{t\to+\infty} \frac{1}{2}\left(\ln|t| + \ln|t+2|\right) - \frac{1}{2}\ln 3

= \lim_{t\to+\infty} \frac{1}{2}\left(\ln|t| + \ln|t+2|\right) - \frac{1}{2}\ln 3

= \frac{1}{2}\left(+\infty + \infty\right) - \frac{1}{2}\ln 3

= +\infty

Como o resultado da integral imprópria foi infinito, temos que ela é divergente.

Se no final dos cálculos você tivesse encontrado como resultado um valor fixo, então a integral imprópria seria convergente. Por exemplo, considere a seguinte integral imprópria:

\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}\,dx

Note que:

\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + c

Sendo assim, temos que:

\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{t\to +\infty} \int_1^{t} \frac{1}{x^2}

= \lim_{t\to +\infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_1^t

= \lim_{t\to +\infty} \left(-\frac{1}{t}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right)

= \lim_{t\to +\infty} -\frac{1}{t} + 1

= 0 + 1 = 1

Como o resultado da integral imprópria foi um valor fixo, temos que ela é convergente. Nesse caso, diremos que essa integral imprópria converge para 1.
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Re: Ajuda de Calculo 2?

Mensagempor edu2012 » Qua Mai 30, 2012 09:24

Luis Aquino Obrigado.
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Assunto: [calculo] derivada
Autor: beel - Seg Out 24, 2011 16:59

Para derivar a função

(16-2x)(21-x).x

como é melhor fazer?
derivar primeiro sei la, ((16-2x)(21-x))' achar o resultado (y)
e depois achar (y.x)' ?


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Autor: MarceloFantini - Seg Out 24, 2011 17:15

Você poderia fazer a distributiva e derivar como um polinômio comum.


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Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:26

Funciona da mesma forma que derivada de x.y.z, ou seja, x'.y.z+x.y'.z+x.y.z' substitui cada expressão pelas variáveis e x',y' e z' é derivada de cada um


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:31

derivada de (16-2x)=-2
derivada de (21-x)=-1
derivada de x=1
derivada de (16-2x)(21-x)x=-2.(21-x)x+(-1).(16-2x)x +1.(16-2x)(21-x)


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