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Ajuda de Calculo 2?

Ajuda de Calculo 2?

Mensagempor edu2012 » Ter Mai 29, 2012 16:38

Boa tarde, gostaria de um exemplo de integral imprópria quando ela converge ou Diverge até agora não estou entendendo.
um exemplo

∫ x+1/(x²+2x) dx
1
desde de já agradeço.
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Re: Ajuda de Calculo 2?

Mensagempor LuizAquino » Ter Mai 29, 2012 20:53

edu2012 escreveu:Boa tarde, gostaria de um exemplo de integral imprópria quando ela converge ou Diverge até agora não estou entendendo.
um exemplo

∫ x+1/(x²+2x) dx
1


Do jeito que você escreveu, a integral seria:

\int_1^{+\infty}x+\frac{1}{x^2 + 2x}\,dx

Mas ao que parece, a integral original seria:

\int_1^{+\infty}\frac{x + 1}{x^2 + 2x}\,dx

Se esse for o caso, então você deveria ter escrito algo como:

\int_1^{+\infty}(x + 1)/\left(x^2 + 2x\right)\,dx

Note a importância do uso adequado dos parênteses.

Supondo que essa seja a integral que você deseja calcular, a primeira coisa que você precisa fazer é resolver a integral indefinida. Nesse caso, você irá obter:

\int \frac{x + 1}{x^2 + 2x}\,dx = \frac{1}{2}\left(\ln|x| + \ln|x+2|\right) + c

Depois que você resolveu a integral indefinida, você pode partir para resolver a integral imprópria. Você deve seguir o seguinte procedimento:

\int_1^{+\infty} \frac{x + 1}{x^2 + 2x}\,dx = \lim_{t\to+\infty} \int_1^{t} \frac{x + 1}{x^2 + 2x}\,dx

= \lim_{t\to+\infty} \left[\frac{1}{2}\left(\ln|x| + \ln|x+2|\right)\right]_1^t

= \lim_{t\to+\infty} \frac{1}{2}\left(\ln|t| + \ln|t+2|\right) - \frac{1}{2}\left(\ln|1| + \ln|1+2|\right)

= \lim_{t\to+\infty} \frac{1}{2}\left(\ln|t| + \ln|t+2|\right) - \frac{1}{2}\left(\ln|1| + \ln|1+2|\right)

= \lim_{t\to+\infty} \frac{1}{2}\left(\ln|t| + \ln|t+2|\right) - \frac{1}{2}\ln 3

= \lim_{t\to+\infty} \frac{1}{2}\left(\ln|t| + \ln|t+2|\right) - \frac{1}{2}\ln 3

= \frac{1}{2}\left(+\infty + \infty\right) - \frac{1}{2}\ln 3

= +\infty

Como o resultado da integral imprópria foi infinito, temos que ela é divergente.

Se no final dos cálculos você tivesse encontrado como resultado um valor fixo, então a integral imprópria seria convergente. Por exemplo, considere a seguinte integral imprópria:

\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}\,dx

Note que:

\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + c

Sendo assim, temos que:

\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{t\to +\infty} \int_1^{t} \frac{1}{x^2}

= \lim_{t\to +\infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_1^t

= \lim_{t\to +\infty} \left(-\frac{1}{t}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right)

= \lim_{t\to +\infty} -\frac{1}{t} + 1

= 0 + 1 = 1

Como o resultado da integral imprópria foi um valor fixo, temos que ela é convergente. Nesse caso, diremos que essa integral imprópria converge para 1.
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Re: Ajuda de Calculo 2?

Mensagempor edu2012 » Qua Mai 30, 2012 09:24

Luis Aquino Obrigado.
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D