[limite]

por **Priscilla Correa** » Sáb Abr 07, 2012 15:44

$\lim_{x \rightarrow 0}\sqrt[n]x - \sqrt[n]p{}{} / x - p$

Alguém pode me ajudar??

por **LuizAquino** » Sáb Abr 07, 2012 16:06

Priscilla Correa escreveu: $\lim_{x \rightarrow 0}\sqrt[n]x - \sqrt[n]p{}{} / x - p$

Alguém pode me ajudar??

O que você escreveu é equivalente a:

$\lim_{x \to 0}\sqrt[n]{x} - \frac{\sqrt[n]{p}}{x} - p$

Mas eu presumo que o exercício original seja:

$\lim_{x \to p}\frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}}{x - p}$

Se você queria dizer isso, então deveria ter escrito algo como:

$\lim_{x \to p}\left(\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}\right)/(x - p)$

Note a importância do uso dos parênteses! Além disso, note que x tende a p e não a 0.

Falando agora sobre a resolução desse limite, note que:

$\lim_{x \to p}\frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}}{x - p} = \lim_{x \to p} \frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}}{\left(\sqrt[n]{x}\right)^n - \left(\sqrt[n]{p}\right)^n}$

Agora use o produto notável:

$a^n - b^n = (a-b)\left(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^{2} + \ldots + a^2b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1}\right)$

por **Priscilla Correa** » Sáb Abr 07, 2012 16:15

Obrigada pela resposta, eu fiquei meio confusa na hora de escrever a função e acabei digitando errado.
Então, eu resolvi e deu 1/0 (um sobre zero). Será que é isso mesmo???

por **LuizAquino** » Sáb Abr 07, 2012 16:19

Priscilla Correa escreveu:Obrigada pela resposta, eu fiquei meio confusa na hora de escrever a função e acabei digitando errado.
Então, eu resolvi e deu 1/0 (um sobre zero). Será que é isso mesmo???

O resultado não é esse. Envie a sua resolução para que possamos corrigi-la.

por **Priscilla Correa** » Sáb Abr 07, 2012 16:33

Eu refiz e cheguei a outro resultado.
$\lim_{x \rightarrow p}(\sqrt[n]x - \sqrt[n]p{}{}) / (x - p) = \lim_{x \rightarrow p}(\sqrt[n]x - \sqrt[n]p{}{})(\sqrt[n]x + \sqrt[n]p{}{})/ (x - p)(\sqrt[n]x + \sqrt[n]p{}{})= \lim_{x \rightarrow p} 1/(\sqrt[n]x + \sqrt[n]p{}{}) = 1/(\sqrt[n]p + \sqrt[n]p{}{})$

Será que está certo??

por **LuizAquino** » Sáb Abr 07, 2012 16:54

Priscilla Correa escreveu:Eu refiz e cheguei a outro resultado.
$\lim_{x \rightarrow p}(\sqrt[n]x - \sqrt[n]p{}{}) / (x - p) = \lim_{x \rightarrow p}(\sqrt[n]x - \sqrt[n]p{}{})(\sqrt[n]x + \sqrt[n]p{}{})/ (x - p)(\sqrt[n]x + \sqrt[n]p{}{})= \lim_{x \rightarrow p} 1/(\sqrt[n]x + \sqrt[n]p{}{}) = 1/(\sqrt[n]p + \sqrt[n]p{}{})$

Será que está certo??

Está errado. O seu erro está em achar que $\left(\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}\right)\right\left(\sqrt[n]{x} + \sqrt[n]{p}\right)$ é igual a x - p.

Por exemplo, note que:

$\left(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{p}\right)\right\left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{p}\right) = \left(\sqrt[3]{x}\right)^2 - \left(\sqrt[3]{p}\right)^2 \neq x - p$

Usando o produto notável que indiquei anteriormente, temos que:

$\lim_{x \to p}\frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}}{x - p} = \lim_{x \to p} \frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}}{\left(\sqrt[n]{x}\right)^n - \left(\sqrt[n]{p}\right)^n}$

$= \lim_{x\to p}\frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}}{(\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p})(\sqrt[n]{x}^{n-1} + \sqrt[n]{x}^{n-2}\sqrt[n]{p} + \sqrt[n]{x}^{n-3}\sqrt[n]{p}^2+\ldots \sqrt[n]{x}^2\sqrt[n]{p}^{n-3} + \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{p}^{n-2} + \sqrt[n]{p}^{n-1})}$

$= \lim_{x\to p}\frac{1}{\sqrt[n]{x}^{n-1} + \sqrt[n]{x}^{n-2}\sqrt[n]{p} + \sqrt[n]{x}^{n-3}\sqrt[n]{p}^2+\ldots \sqrt[n]{x}^2\sqrt[n]{p}^{n-3} + \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{p}^{n-2} + \sqrt[n]{p}^{n-1}}$

Agora tente terminar o exercício.

Uma dica: para que você possa entender melhor o que acontece no caso geral, estude o que acontece em um caso particular. Por exemplo, quando n = 3 temos que:

$\lim_{x \to p}\frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{p}}{x - p} = \lim_{x \to p} \frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{p}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^3 - \left(\sqrt[3]{p}\right)^3}$

$= \lim_{x\to p}\frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{p}}{\left(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{p}\right)\left(\sqrt[3]{x}^{2} + \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{p} + \sqrt[3]{p}^2\right)}$

$= \lim_{x\to p}\frac{1}{\sqrt[3]{x}^{2} + \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{p} + \sqrt[3]{p}^2}$

Agora tente continuar.

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