Sequências e convergência

por **Danilo** » Qui Abr 05, 2012 23:33

Pessoal, tô estudando 'sequências e convergencia' para limites, e está complicadíssmo entender a teoria (livro 'calculo a uma variavel). Lendo... relendo... e ainda sim a matéria não fica clara. Talvez se vocês me ajudarem a fazer a algum exercício eu posso melhorar meu entendimento. Vamos ao exercício:

Dê exemplos de sequências não constantes, tais que:

(a) ${a}_{n}\rightarrow$ 0,25
(b) ${b}_{n} \rightarrow$ -2,31
(c) ${c}_{n} \rightarrow \sqrt[]{2}$
(d) ${d}_{n} \rightarrow -1,23232323...$

bom, sei que ${a}_{n}$ converge para 0,25 mas não sei com TOTAL CLAREZA o que isso quer dizer. Imagino que quanto maior o valor de n, mais de 0,25 a sequência se aproxima. certo? eu sei que uma sequencia constante é aquela que tem apenas um número... mas como assim uma sequencia constante tal que uma outra sequencia converge para um número?????

Bom, quem puder dar uma luz agradeço imensamente. ^^

por **LuizAquino** » Sex Abr 06, 2012 00:55

Danilo escreveu:Pessoal, tô estudando 'sequências e convergencia' para limites, e está complicadíssmo entender a teoria (livro 'calculo a uma variavel). Lendo... relendo... e ainda sim a matéria não fica clara. Talvez se vocês me ajudarem a fazer a algum exercício eu posso melhorar meu entendimento. Vamos ao exercício:

Dê exemplos de sequências não constantes, tais que:

(a) ${a}_{n}\rightarrow$ 0,25
(b) ${b}_{n} \rightarrow$ -2,31
(c) ${c}_{n} \rightarrow \sqrt[]{2}$
(d) ${d}_{n} \rightarrow -1,23232323...$

Danilo escreveu:bom, sei que ${a}_{n}$ converge para 0,25 mas não sei com TOTAL CLAREZA o que isso quer dizer. Imagino que quanto maior o valor de n, mais de 0,25 a sequência se aproxima. certo?

Correto.

Em outras palavras, dizer que $a_n \to 0,25$ (ou que a_n

converge para 0,25) é o mesmo que dizer o seguinte:

$\lim_{n\to+\infty} a_n = 0,25$

Danilo escreveu:eu sei que uma sequencia constante é aquela que tem apenas um número...

Em outras palavras, todos os termos da sequência são o mesmo valor. Por exemplo, a seguinte sequência é constante: {1, 1, 1, 1, ...}. Nesse caso, podemos dizer que o termo geral dessa sequência tem o formato a_n = 1

.

Danilo escreveu:mas como assim uma sequencia constante tal que uma outra sequencia converge para um número?????

Preste atenção ao enunciado do exercício: "Dê exemplos de sequências não constantes (...)".

Esse "não" no enunciado tem um motivo muito simples: seria fácil demais, por exemplo, dar exemplo de uma sequência que converge para 0,25. Basta tomar uma sequência constante. Ou seja, tomando a sequência constante {0,25, 0,25, 0,25, 0,25, ...} é trivial ver que $a_n \to 0,25$ .

Você precisa pensar em outra sequência, que não seja constante, tal que $a_n \to 0,25$ . Por exemplo, tome a sequência $a_n = \frac{n+1}{4n+1}$ . Note que essa sequência não é constante e temos que $a_n \to 0,25$ . Confira! Verifique que:

$\lim_{n\to +\infty} \frac{n + 1}{4n + 1} = 0,25$

Agora tente fazer os outros itens.

por **Danilo** » Sex Abr 06, 2012 16:37

Professor, então, posso colocar qualquer valor para 1 $\leq$ n que o limite nunca vai dar um valor maior ou igual a 0,25, certo? Entendi. Só não sei como chegar a essa fórmula. Aqui no livro tem alguns teoremas, mas tá complicado de utilizar. Existe alguma 'maneira padrao' de encontrar essas 'fórmulas convergentes' ? Como chego lá? Obrigado aí ^^

por **LuizAquino** » Sex Abr 06, 2012 19:49

Danilo escreveu:Professor, então, posso colocar qualquer valor para $1 \leq n$ que o limite nunca vai dar um valor maior ou igual a 0,25, certo?

Você está fazendo confusão. Tome o exemplo que postei acima: $a_n = \frac{n + 1}{4n + 1}$ . Note, por exemplo, que $a_5 = \frac{6}{21} \geq 0,25$ . Ou seja, os termos de uma sequência podem ser maiores (ou até menores) do que o seu valor limite. O importante é: para valores muito grandes de n, o valor de a_n

está cada vez mais próximo de 0,25. No limite, quando $n\to+\infty$ , temos que $a_n\to 0,25$ .

Danilo escreveu:Só não sei como chegar a essa fórmula. Aqui no livro tem alguns teoremas, mas tá complicado de utilizar.

Para chegar nesses exemplos você não vai usar um teorema. Você vai criar esses exemplos com base na sua experiência calculando limites.

Imagine o seguinte exercício: dê um exemplo de uma função f tal que $\lim_{x\to 1} f(x) = 3$ . Usando a sua experiência em calcular limites, você pode imaginar várias funções f que atendem essa exigência.

Agora a ideia é parecida. A diferença está apenas no fato de que a variável, no caso n, é natural e tende para o infinito. Isto é, temos limites nos quais aparece $n\to +\infty$ . Se você não estiver bem treinado em calcular limites desse tipo (isto é, limites no infinito), dificilmente vai conseguir criar os exemplos.

Danilo escreveu: Existe alguma 'maneira padrao' de encontrar essas 'fórmulas convergentes' ? Como chego lá?

Como disse acima, isso depende de sua experiência em calcular limites.

Por exemplo, você deve ter estudado que $\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x} = 0$ . Esse é um limite básico, que aprendemos tipicamente no início do estudo de limites no infinito.

Usando esse conhecimento (essa experiência), podemos por exemplo montar a seguinte sequência: $a_n = \frac{1}{n} + 0,25$ (aqui estou considerando que n começa em 1 e não em 0). Fica evidente então que $a_n \to 0,25$ , já que $\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n} + 0,25 = 0 + 0,25 = 0,25$ .

No caso do exemplo que exibi na mensagem anterior, note que $\frac{n + 1}{4n + 1} = \frac{1 + \frac{1}{n}}{4 + \frac{1}{n}}$ (lembrando que n é diferente de zero). Novamente eu usei aquele mesmo conhecimento básico, pois temos que $\lim_{n\to+\infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{4 + \frac{1}{n}} = \frac{1 + 0}{4 + 0} = \frac{1}{4} = 0,25$ .

por **Danilo** » Sáb Abr 07, 2012 12:39

Entendi. Você usou o fato de que 1/n converge para zero... Valeu! Eu adiquiri o livro do Guidorizzi de calculo 1 vol 1. To resolvendo os exercicios desse livro e estudando paralelamente aos outros livros que tenho que estudar. Obrigado. Só mais uma pergunta:

como eu poderia fazer para o caso de $\sqrt[]{2}$ ?^ Valeu !

por **LuizAquino** » Sáb Abr 07, 2012 13:12

Danilo escreveu:Só mais uma pergunta: como eu poderia fazer para o caso de $\sqrt{2}$ ?

Que tal pensar mais um pouco?! Tente fazer o exercício!

Você já sabe que $\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ . Com base no que eu já expliquei anteriormente, fica fácil exibir pelo menos um exemplo tal que $a_n\to \sqrt{2}$ .

por **Danilo** » Sáb Abr 14, 2012 13:52

LuizAquino escreveu:
Danilo escreveu:Só mais uma pergunta: como eu poderia fazer para o caso de $\sqrt{2}$ ?

Que tal pensar mais um pouco?! Tente fazer o exercício!

Você já sabe que $\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ . Com base no que eu já expliquei anteriormente, fica fácil exibir pelo menos um exemplo tal que $a_n\to \sqrt{2}$ .

Professor, então posso fazer assim?

limite de 1/n + $\sqrt[]{2}$ quando n tende ao infinito = $\sqrt[]{2}$ (pois limite de 1/n quando n tende ao infinito = 0)

fiz uma prova que caiu uma questão que pedia 4 exemplos diferentes de sequencias que convergem para $\sqrt[]{2}$ aí eu pensei em

{ $\sqrt[]{2}$ , $\sqrt[]{2}$ ... } , essa sequencia acima que eu acabei de colocar, e limite de 1/n² + $\sqrt[]{2}$ quando n tende ao infinito = $\sqrt[]{2}$ , e a quarta a mesma coisa só que com 1/n³. Enfim, está correto?

por **LuizAquino** » Sáb Abr 14, 2012 17:28

Danilo escreveu:Professor, então posso fazer assim?

limite de 1/n + $\sqrt[]{2}$ quando n tende ao infinito = $\sqrt[]{2}$ (pois limite de 1/n quando n tende ao infinito = 0)

fiz uma prova que caiu uma questão que pedia 4 exemplos diferentes de sequencias que convergem para $\sqrt[]{2}$ aí eu pensei em

{ $\sqrt[]{2}$ , $\sqrt[]{2}$ ... } , essa sequencia acima que eu acabei de colocar, e limite de 1/n² + $\sqrt[]{2}$ quando n tende ao infinito = $\sqrt[]{2}$ , e a quarta a mesma coisa só que com 1/n³. Enfim, está correto?

Esses são quatro exemplos válidos.