[Resolução de integral]

por **adomingues** » Sex Jan 20, 2012 16:45

Boa tarde

Estou a tentar resolver este integral, mas não chego ao resultado certo
$\int_{-inf}^{inf} \frac{x^2}{(x^2+a^2)^2} dx$ cujo resultado é $\frac{pi}{2*a}$
Recorrendo a uma tabela de integrais sei que
$\int_{-inf}^{inf} \frac{1}{(x^2+a^2)} dx = \frac{\pi}{a}$
No entanto não estou a conseguir usar a regra para chegar ao resultado correcto

Desde já obrigado

por **ant_dii** » Sáb Jan 21, 2012 01:57

De modo geral pode-se fazer o seguinte

$\int \frac{x^2}{(x^2+a^2)^2}dx=\int \frac{x^2+a^2-a^2}{(x^2+a^2)^2}dx=\int \left(\frac{x^2+a^2}{(x^2+a^2)^2}-\frac{a^2}{(x^2+a^2)^2}\right)dx = \\ \\ =\int \left(\frac{1}{x^2+a^2}-\frac{a^2}{(x^2+a^2)^2}\right)dx=\overbrace{\int \frac{1}{x^2+a^2}dx}^{(1)}- \overbrace{\int \frac{a^2}{(x^2+a^2)^2}dx}^{(2)}$

Por parcelas temos que, de (1)
$\int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}$ .

E, para (2), faremos
$x=a\tan u \Rightarrow dx=a\sec^2u\, du$

então
$(x^2+a^2)^2=(a^2\tan^2 u+a^2)^2=[a^2(\tan^2 u+1)]^2=a^4\sec^4 u$

de onde
$\int \frac{a^2}{(x^2+a^2)^2}dx=\int \frac{a^2}{a^4\sec^4 u} (a\sec^2u\, du)= \frac{1}{a}\int \frac{1}{\sec^2 u}du=\frac{1}{a}\int \cos^2 u du$

usando
$\cos^2 u=\frac{\cos 2u+1}{2}$

então
$\frac{1}{a}\int \cos^2 u du= \frac{1}{2a}\int (\cos 2u+1)du=\frac{\sin 2u}{4a}+\frac{u}{2a}$

Logo, unindo os resultados para (1) e (2), teremos
$\int \frac{1}{x^2+a^2}dx- \int \frac{a^2}{(x^2+a^2)^2}dx= \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)-\left(\frac{\sin 2u}{4a}+\frac{u}{2a}\right)= \\ \\=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)-\frac{\sin u \cos u}{2a}-\frac{u}{2a}=\frac{2\arctan\left(\frac{x}{a}\right)-\sin u \cos u-u}{2a}$

Como
$x=a\tan u \Rightarrow u= \arctan \left(\frac{x}{a}\right)$

podemos fazer
$\frac{2\arctan\left(\frac{x}{a}\right)-\sin u \cos u-u}{2a}= \\ \\ =\frac{2\arctan\left(\frac{x}{a}\right)-\sin\left(\arctan \left(\frac{x}{a}\right)\right) \cos \left(\arctan \left(\frac{x}{a}\right)\right)-\arctan \left(\frac{x}{a}\right)}{2a}=\\ \\=\frac{\arctan\left(\frac{x}{a}\right)-\frac{ax}{x^2+a^2}}{2a}=\frac{1}{2a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)-\frac{x}{2(x^2+a^2)}$

Portanto,
$\int \frac{x^2}{(x^2+a^2)^2}dx=\frac{1}{2a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)-\frac{x}{2(x^2+a^2)}+constante$ .

Não entendi bem quais eram seus limites de integração, mas agora basta que você os aplique e poderá encontrar a resposta correta...

por **ant_dii** » Sáb Jan 21, 2012 02:39

adomingues escreveu:Estou a tentar resolver este integral, mas não chego ao resultado certo
$\int_{-inf}^{inf} \frac{x^2}{(x^2+a^2)^2} dx$ cujo resultado é $\frac{pi}{2*a}$
Recorrendo a uma tabela de integrais sei que
$\int_{-inf}^{inf} \frac{1}{(x^2+a^2)} dx = \frac{\pi}{a}$

Agora entendi os limites de integração. Na verdade você queria
$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{(x^2+a^2)^2} dx$

que, de fato, é $\frac{\pi}{2a}$ .

Para chegar a esse resultado você terá que usar limites sobre as integrais impróprias. A minha sugestão é que você faça
$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{(x^2+a^2)^2} dx=\int_{-\infty}^{0} \frac{x^2}{(x^2+a^2)^2} dx+\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{(x^2+a^2)^2} dx$

Como no post anterior já coloquei a integral calculada, agora basta que você calcule as integrais sobre os limites de integração e aplique limite para chegar ao resultado...

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