trajetorias ortogonais.

por **manolo223** » Sáb Nov 26, 2011 15:26

Alguem poderia me dar uma ajudar sobre exercicio de trajetorias ortogonais?

Encontre a familia de curvas ortogonais a familia de circulos que contem os pontos (1,0) e (-1,0).

Como eu montaria a equaçao para resolver la? meu problema esta na interpretaçao para montar a equaçao.

por **LuizAquino** » Dom Nov 27, 2011 18:40

manolo223 escreveu:Encontre a família de curvas ortogonais a família de círculos que contém os pontos (1,0) e (-1,0).

manolo223 escreveu:Como eu montaria a equaçao para resolver la? meu problema esta na interpretaçao para montar a equaçao.

Primeiro, determine a família de circunferências (e não de círculos como diz o exercício) que contém os pontos (1,0) e (-1,0).

Lembre-se que a equação de uma circunferência de centro (xc, yc) e raio r é dada por:

(x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 = r^2

Substituindo os pontos dados, você obtém o sistema:

$\begin{cases} (1-x_c)^2 + (0-y_c)^2 = r^2 \\ (-1-x_c)^2 + (0-y_c)^2 = r^2 \end{cases}$

A solução desse sistema é x_c=0

e $y_c=\pm \sqrt{r^2 - 1}$ .

Temos então duas famílias de circunferências:

(i) $x^2 + \left(y-\sqrt{r^2 - 1}\right)^2 = r^2$ ;

(ii) $x^2 + \left(y+\sqrt{r^2 - 1}\right)^2 = r^2$ .

Vamos considerar primeiro a família (i).

Derivando implicitamente, temos que:

$2x + 2\left(y-\sqrt{r^2 - 1}\right)y^\prime = 0 \Rightarrow y^\prime = -\frac{x}{y-\sqrt{r^2 - 1}}$

Precisamos agora eliminar da expressão da derivada o termo $\sqrt{r^2 - 1}$ , para que a derivada fique em função apenas de x e y. Para isso, vamos usar a equação da circunferência:

$x^2 + \left(y-\sqrt{r^2 - 1}\right)^2 = r^2 \Rightarrow x^2 + y^2 -2y\sqrt{r^2 - 1} + r^2 - 1 = r^2$ $\Rightarrow \sqrt{r^2 - 1} = \frac{x^2+y^2-1}{2y}$

Desse modo, podemos escrever que:

$y^\prime = -\frac{x}{y-\frac{x^2+y^2-1}{2y}} \Rightarrow y^\prime = -\frac{2xy}{y^2-x^2+1}$

Para que uma outra curva y_2=g(x)

seja ortogonal a essa família de circunferências, em todos os pontos de interseção (X, Y) entre essas curvas devemos ter:

$y^{\prime}_2\cdot y^\prime = - 1$

Ou seja, precisamos resolver a EDO:

$\frac{d Y}{dX}\cdot \left(-\frac{2XY}{Y^2-X^2+1}\right)= - 1$

Agora tente terminar o exercício.

Vale lembrar que depois você deve seguir esse mesmo raciocínio para a família de circunferências (ii).

trajetorias ortogonais.

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