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Limites

Limites

Mensagempor Beatriz4 » Sex Nov 25, 2011 23:45

Já resolvi este limite mas não me dá o valor certo. Vou colocar aqui a minha resolução e gostaria que alguém me dissesse onde está o meu erro(s).

(n->+inf)lim (2^(2n+1))*((n+2)/(4n+1))^n

lim (2^(2n+1))*((n+2)/(4n+1))^n = lim ((2^(2n+1))/((n+2)/(4n+1))^n)*(((n+2)/(4n+1))^n)/((n+2)/(4n+1))^n = lim 2*((2^2)^n)/((n+2)/(4n+1))^n =
= lim 2*(4/((n+2)/(4n+1)))^n = lim 2*(4(4n+1)/(n+2)))^n = lim 2 ((16n+4)/(n+2))^n

Até aqui penso estar bem, gostaria que me dissessem como continuar para saber se a minha resoluçã está correcta. segundo um progrma de resolução de limites este dá 2e^(7/4) e a mim deu-me +inf.

Agradecia mesmo se me ajudassem!
Beatriz4
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Re: Limites

Mensagempor LuizAquino » Sáb Nov 26, 2011 17:57

Beatriz4 escreveu:Já resolvi este limite mas não me dá o valor certo. Vou colocar aqui a minha resolução e gostaria que alguém me dissesse onde está o meu erro(s).

(n->+inf)lim (2^(2n+1))*((n+2)/(4n+1))^n


Eis o limite que você deseja calcular:

\lim_{n\to +\infty} 2^{2n+1}\cdot \left(\frac{n+2}{4n+1}\right)^n

Beatriz4 escreveu:lim (2^(2n+1))*((n+2)/(4n+1))^n = lim ((2^(2n+1))/((n+2)/(4n+1))^n)*(((n+2)/(4n+1))^n)/((n+2)/(4n+1))^n = lim 2*((2^2)^n)/((n+2)/(4n+1))^n =
= lim 2*(4/((n+2)/(4n+1)))^n = lim 2*(4(4n+1)/(n+2)))^n = lim 2 ((16n+4)/(n+2))^n


Utilizando as regras de precedência, o que você escreveu acima foi:

\lim_{n\to +\infty} 2^{2n+1}\cdot \left(\frac{n+2}{4n+1}\right)^n =

= \lim_{n\to +\infty} \frac{2^{2n+1}}{\left(\frac{n+2}{4n+1}\right)^n} \cdot \frac{\left(\frac{n+2}{4n+1}\right)^n}{\left(\frac{n+2}{4n+1}\right)^n}

= \lim_{n\to +\infty}  2\cdot \frac{\left[\left(2^2\right)^n\right]}{\left(\frac{n+2}{4n+1}\right)^n}

= \lim_{n\to +\infty} 2\cdot \left(\frac{4}{\frac{n+2}{4n+1}}\right)^n

= \lim_{n\to +\infty} 2\cdot \left[\frac{4(4n+1)}{n+2}\right]^n

= \lim_{n\to +\infty} 2\cdot \left(\frac{16n+4}{n+2}\right)^n

Beatriz4 escreveu:Até aqui penso estar bem, gostaria que me dissessem como continuar para saber se a minha resoluçã está correcta.

Você já errou do primeiro para o segundo passo.

Beatriz4 escreveu:segundo um progrma de resolução de limites este dá 2e^(7/4) e a mim deu-me +inf.


\lim_{n\to +\infty} 2^{2n+1}\cdot \left(\frac{n+2}{4n+1}\right)^n =

= \lim_{n\to +\infty} 2\cdot 4^n \cdot \left(\frac{n+2}{4n+1}\right)^n

= \lim_{n\to +\infty} 2\left(4\cdot \frac{n+2}{4n+1}\right)^n

= \lim_{n\to +\infty} 2\left[4 \cdot \frac{n\left(1+\frac{2}{n}\right)}{4n\left(1+\frac{1}{4n}\right)}\right]^n

= \lim_{n\to +\infty} 2\left[\frac{\left(1+\frac{2}{n}\right)}{\left(1+\frac{1}{4n}\right)}\right]^n

=  2\left[\frac{\displaystyle{\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n}}{\displaystyle{\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{1}{4n}\right)^n}}\right]

=  2\left(\frac{e^2}{e^{\frac{1}{4}}}\right)

=  2e^{\frac{7}{4}}

Observação

Note que:

\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{k}{n}\right)^n = e^{k}

De fato, fazendo a substituição u = \frac{k}{n} , temos que:

\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{k}{n}\right)^n = \lim_{u\to 0}\left(1+u\right)^\frac{k}{u}

= \lim_{u\to 0} \left[\left(1+u\right)^\frac{1}{u}\right]^k

=  \left[\lim_{u\to 0} \left(1+u\right)^\frac{1}{u}\right]^k

= e^k
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Re: Limites

Mensagempor Beatriz4 » Dom Nov 27, 2011 11:05

Obrigada pela ajuda =)
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}