[Continuidade] Demonstração

por **Aliocha Karamazov** » Sáb Out 29, 2011 14:20

Seja $f(x)=x+\frac{1}{x}$ . Prove que

$a) |f(x)-f(1)|\leq\left(1+\frac{1}{x}\right)|x-1|$ , para todo x>0

$b) |f(x)-f(1)|\leq3|x-1|$ , para $x>\frac{1}{2}$

Use

e

para provar por $\epsilon$ e $\delta$ que f é contínua em x=1

Eu pensei em algo que pudesse ajudar na resolução do item a). Foi o seguinte:

$\lim_{x\to0^{+}} f(x)=\lim_{x\to0^{+}}\left(x+\frac{1}{x}\right)=\lim_{x\to0^{+}}x+\lim_{x\to0^{+}}\left(\frac{1}{x}\right)=0+\infty=+\infty$

Como $\lim_{x\to0^{+}} f(x)+\infty$ , temos, pela definição de limites laterais e pela definição de limites no infinito, que:

$\forall\epsilon>0, \exists\delta>0$ tal que

$0<x<0+\delta \Rightarrow f(x)>\epsilon$ , ou seja:

$x<\delta \Rightarrow f(x)>\epsilon$

Mas eu não sei como, e nem se é possível, usar esse resultado para provar a afirmação do item a).

Alguém pode me ajudar?

por **MarceloFantini** » Sáb Out 29, 2011 16:16

Teremos

, e daí $|f(x) - f(1)| = \left\vert x + \frac{1}{x} - 2 \right\vert = \left\vert (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - x\right)\right\vert$ . Agora usando a desigualdade triangular:

$\left\vert (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - x\right)\right\vert \leq |x-1| + \frac{1}{x} |x-1| = \left( 1 + \frac{1}{x} \right) |x-1|$

E fica provado o item a). Para o item b), basta perceber que para $x > \frac{1}{2}$ temos $\frac{1}{x} < 2$ e daí $1 + \frac{1}{x} < 3$ , e portanto pelo item a) concluimos $|f(x) - f(1)| \leq 3|x-1|$ .

Tente fazer o item c).

por **Aliocha Karamazov** » Sáb Out 29, 2011 19:09

Eu somei as duas desigualdades e, depois de algumas manipulações, ficou:

$|f(x)-f(1)|\leq|x-1|\left(2+\frac{1}{2x}\right)$

Como, para provar a continuidade em 1 usando $\epsilon$ e $\delta$ , tenho que chegar numa expressão:

$|x-1|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(1)|< \epsilon$

Poderia escrever $|f(x)-f(1)|< \delta\left(2+\frac{1}{2x}\right)$

No entanto, eu tenho que restringir $\left(2+\frac{1}{2x}\right)$

Pois não pode ficar dependente de x

Poderia estimar, por exemplo $\delta =1$ e analisar o comportamento de $\left(2+\frac{1}{2x}\right)$ no intervalo 0<x<2

. Mas essa função vai pro infinito para valores de x próximos de 0.

Não sei como prosseguir daqui. Poderia me ajudar?

por **MarceloFantini** » Sáb Out 29, 2011 20:48

Devemos mostrar que dado $\varepsilon >0$ , podemos encontrar $\delta = \delta(\varepsilon) > 0$ tal que $|x-a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \varepsilon$ . Pelo item b), isto nos sugere que tomemos $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$ . Assim, teremos que pelo item b que:

$|f(x) - f(1)| \leq 3|x-1| < 3 \delta = 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$

O que conclui a demonstração.

por **Aliocha Karamazov** » Sáb Out 29, 2011 21:11

Entendi. Mais simples do que pensava.

Eu descobri que essa questão é do Guidorizzi. Olhei no gabarito e a resposta é $\delta=min$ $\frac{\epsilon}{3},\frac{1}{2}}$ .

Você poderia me falar por quê?