[Limite] Limite pela definição

por **-civil-** » Qui Set 29, 2011 14:12

Intua o valor do limite abaixo, usando caminho. Depois prove pela definição que o limite é o que você intuiu, deixando claro as etapas: o projeto de $\delta$ em função de $\epsilon$ , o valor do $\delta$ e finalmente a confirmação de $\delta$ .
$\lim_{(x,y)\to\(1,-1)} \left(4x - 2y)$

Eu resolvi assim:
$\lim_{(x,y)\to\(1,-1)} \left(4x - 2y)$ = $\lim_{(x,y)\to\(1,-1)} \left(4 + 4)$ = 8
(Posso considerar que esse é um jeito de resolver por caminho?)

Seja $\epsilon$ > 0, queremos achar $\delta$ tal que |4x - 2y| < $\epsilon$ sempre que
0 < $\sqrt{ (x-1)^2 + (y+1)^2 } < \delta$

0 < $\sqrt{ (x-1)^2 + (y+1)^2 } < \delta$

$\sqrt{ (x-1)^2}$ = | x - 1 | < $\sqrt{ (x-1)^2 + (y+1)^2 } < \delta$ --->>>> projeto de $\delta$
$\sqrt{ (y+1)^2}$ = | y + 1| < $\sqrt{ (x-1)^2 + (y+1)^2 } < \delta$

|4x - 4 -2y - 2 + 6 | < $\epsilon$
|4(x-1) - 2(y+1) + 6 | < $\epsilon$
|4(x-1) - 2(y+1) | < $\epsilon$
4|x-1| - 2|y+1| < $\epsilon$ (Eu posso fazer isso, tendo um sinal negativo ali no meio????)
4 $\delta$ - 2 $\delta$ < $\epsilon$
2 $\delta$ < $\epsilon$

valor de $\delta$ : $\frac{\epsilon}{2}$

confirmação do $\delta$ :
Suponhamos que 0 < $\sqrt{ (x-1)^2 + (y+1)^2 } < \delta$ então
| x - 1 | < $\delta$ e | y + 1| < $\delta$

Assim:
4|x-1| - 2|y+1| < 4 $\delta$ - 2 $\delta$ < 2 $\delta$
4|x-1| - 2|y+1| < $\frac{\epsilon}{2}$

Como |4(x-1) - 2(y+1)| $\leq$ 4|x-1| - 2|y+1|
então
|3(x-1) + 2(y+1)| < $\epsilon$

Está correta a minha resolução?

por **LuizAquino** » Sex Set 30, 2011 12:54

-civil- escreveu:Eu resolvi assim:
$\lim_{(x,y)\to (1,-1)} (4x - 2y) = \lim_{(x,y)\to (1,-1)} (4 + 4) = 8$
(Posso considerar que esse é um jeito de resolver por caminho?)

Claro que não! Afinal de contas, você não especificou que caminho você está seguindo!

Uma forma seria, por exemplo, considerar que você vai se aproximar do ponto (1, -1) seguindo a trajetória da reta y = -x. Note que seguindo essa trajetória, quando x se aproxima de 1, temos que y se aproxima de -1. Sobre essa trajetória, o limite acima é o mesmo que:

$\lim_{x\to 1} 4x - 2(-x) = \lim_{x\to 1} 6x = 6$

-civil- escreveu:Seja $\varepsilon> 0$ , queremos achar $\delta$ tal que $|4x - 2y| < \varepsilon$ sempre que
$0 < \sqrt{ (x-1)^2 + (y+1)^2 } < \delta$

Não é isso. Considerando que você desconfia que o limite seja igual a 6, então o que você quer é tentar provar que:

Seja $\varepsilon> 0$ , queremos achar $\delta > 0$ tal que $|(4x - 2y) - 6| < \varepsilon$ sempre que $0 < \sqrt{ (x-1)^2 + (y+1)^2 } < \delta$ .

-civil- escreveu: $|4x - 4 -2y - 2 + 6 | < \varepsilon$
$|4(x-1) - 2(y+1) + 6 | < \varepsilon$

Não é isso. O que temos é:

$|(4x - 2y) - 6| < \varepsilon$

$|(4x - 2y) - 2 - 4| < \varepsilon$

$|4(x-1) - 2(y+ 1)| < \varepsilon$

Mas pela desigualdade triangular, sabemos que:

$|4(x-1) + [-2(y+1)]| \leq |4(x-1)| + |-2(y+1)|$ $= 4|x-1|+ 2|y+1| = 4\sqrt{(x-1)^2} + 2\sqrt{(y+1)^2}$

Em resumo, temos que:

$|4(x-1) - 2(y+ 1)| \leq 4\sqrt{(x-1)^2} + 2\sqrt{(y+1)^2}$

Por outro lado, sabemos que:

$4\sqrt{(x-1)^2} < 4\sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2}$

$2\sqrt{(y+1)^2} < 2\sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2}$

Ou seja, é válido que:

$4\sqrt{(x-1)^2} + 2\sqrt{(y+1)^2} < 6\sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2}$

Desse modo, podemos afirmar que:

$|4(x-1) - 2(y+ 1)| < 6\sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2}$

Isso significa que podemos escolher $\delta = \frac{\varepsilon}{6}$ .

Agora, verifique que essa escolha é conveniente.

Observação

-civil- escreveu: $|4(x-1) - 2(y+1) | < \varepsilon$
$4|x-1| - 2|y+1| < \varepsilon$
(Eu posso fazer isso, tendo um sinal negativo ali no meio????)

Ao que parece, você executou esse passo pensando que é válido a propriedade |a - b| = |a| - |b|, para quaisquer a e b reais. Entretanto, isso é claramente inválido. Escolha, por exemplo, a = 1 e b = -1. Você perceberá que essa relação é inválida para essa escolha.

A propriedade que de fato nós temos é $|a-b| \geq |a| - |b|$ , para quaisquer a e b reais . Para uma demonstração dessa propriedade, vide o tópico:

Re: Módulo.
viewtopic.php?f=120&t=4101#p13503

Considerando agora essa propriedade, se tivermos algo do tipo |a-b| < c

(com c positivo e não nulo), como $|a| - |b| \leq |a-b|$ , então podemos afirmar que:

$|a| - |b| \leq |a-b| < c$ $\Rightarrow |a| - |b| < c$

Em resumo, devido a essa propriedade, para quaisquer a, b e c reais (com c positivo e não nulo) temos que:

$|a-b| < c \Rightarrow |a| - |b| < c$

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