exerc.resolvido

por **adauto martins** » Sex Out 25, 2019 15:18

(Este-escola tecnica do exercito-exame de admissao 1937)
derivar a expressao

$y=arcsen(({e}^{2x}-{e}^{-2x})/({e}^{2x}+{e}^{-2x}))$

ps-a Este(escola tecnica do exercito) veio a se tornar o atual IME.e deu origem ao primeiro curso de engenharia aeronautica(1939),que depois veio a se tornar o ITA(instituto tecnologico de aeronautica) em 1950.

por **adauto martins** » Sex Out 25, 2019 15:57

soluçao:
podemos derivar y,de duas maneira,que na verdade é a mesma tecnica,ou seja.
podemos usar $y'=u'/(\sqrt[]{1-{u}^{2}})$ ,para u=u(x)

,
ou usar a derivada da funçao implicita,que é a que usaremos:
seja y=y(x)

tal que:

$y=arcsen(({e}^{2x}-{e}^{-2x})/({e}^{2x}+{e}^{-2x}))$
logo,podemos:

$seny=sen(arcsen(({e}^{2x}-{e}^{-2x})/({e}^{2x}+{e}^{-2x}))) seny=({e}^{2x}-{e}^{-2x})/({e}^{2x}+{e}^{-2x})(*)$

derivando em relaçao a x,teremos:

$y'.cosy=(d/dx)({e}^{2x}-{e}^{-2x})/({e}^{2x}+{e}^{-2x})$
vamos usar aqui a derivada do quociente

$y'.cosy=(({e}^{2x}-{e}^{-2x})'.({e}^{2x}+{e}^{-2x}) -({e}^{2x}-{e}^{-2x}).({e}^{2x}+{e}^{-2x})')/(({e}^{2x}+{e}^{-2x}))^{2}$

$=(2x({e}^{2x}+{e}^{-2x})'.({e}^{2x}+{e}^{-2x}) -({e}^{2x}-{e}^{-2x}).2x({e}^{2x}-{e}^{-2x})')/(({e}^{2x}+{e}^{-2x}))^{2} =2x.(({e}^{2x}+{e}^{-2x})^{2}-{({e}^{2x}-{e}^{-2x})}^{2})/(({e}^{2x}+{e}^{-2x}))^{2}$

$=2x({e}^{2x}+{e}^{-2x}).({e}^{2x}-{e}^{-2x})/{({e}^{2x}+{e}^{-2x})}^{2} =2x({e}^{2x}-{e}^{-2x})/({e}^{2x}+{e}^{-2x})$

$\Rightarrow y'=2x({e}^{2x}-{e}^{-2x})/((cosy)({e}^{2x}+{e}^{-2x}))$

$y'=2x/(cosy).(({e}^{2x}-{e}^{-2x})/({e}^{2x}+{e}^{-2x})) y'=2x/(cosy.seny)=4x/(2.cosy.seny)=4x/(sen2y)$

usando a equaçao (*),teremos:

$y'=4x/({e}^{4x}-{e}^{-4x})/({e}^{4x}+{e}^{-4x})...$

exerc.resolvido

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