• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

[Limites] Interpretação de exercício

[Limites] Interpretação de exercício

Mensagempor Daniel Bosi » Seg Mai 16, 2016 22:20

Olá pessoal!

Não estou conseguindo entender o seguinte problema:

Suponhamos que {a}_{n}\neq0 para todo n\in\mathbb{N} e que o limite L=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}} \right| existe. Mostre que se L<1, então \lim_{n\rightarrow\infty}{a}_{n}=0.

Em primeiro lugar, não consigo interpretar o que seria o índice n do {a}_{n} tendendo a infinito. Significa algum valor muito grande? Posso considerar o {a}_{n} como sendo "infinito" (e nesse caso o resultado L do limite seria 1)? A seguir, o que significa mostrar que o limite é menor que 1? Como mostrar que ele tende a zero?
Daniel Bosi
Usuário Dedicado
Usuário Dedicado
 
Mensagens: 26
Registrado em: Seg Mai 16, 2016 21:37
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Matemática
Andamento: cursando

Re: [Limites] Interpretação de exercício

Mensagempor Daniel Bosi » Qui Mai 19, 2016 11:23

Amigos, talvez eu tenha colocado essa questão dentro da área errada, já que após refletir mais sobre o problema percebo que este limite é o limite de uma sequência, e não de uma função.

O que eu tenho pensado é: para mostrar que se o limite é menor que um, a sequência indo a infinito converge para zero sugere que, na prática, uma sequência do tipo \frac{1}{n} seria um dos exemplos dessa situação. Porém, uma vez que a questão pede uma demonstração rigorosa e geral, estou com dificuldade de organizar uma linha de raciocínio.

Apenas para organizar um raciocínio, pensando especificamente no exemplo da sequência \frac{1}{n} e substituindo no primeiro limite:

L=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}} \right| considerando que {a}_{n}=\left( \frac{1}{n} \right)

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n+1} que converge inferiormente para 1.

Se alguém tiver alguma sugestão de como eu posso estruturar essa demonstração fico no aguardo!
Daniel Bosi
Usuário Dedicado
Usuário Dedicado
 
Mensagens: 26
Registrado em: Seg Mai 16, 2016 21:37
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Matemática
Andamento: cursando

Re: [Limites] Interpretação de exercício

Mensagempor e8group » Qui Mai 19, 2016 20:27

Começamos com um resultado :

Seja (c_n) uma sequencia de termos positivos . Suponhamos que exista uma sequencia (b_n) convergente para zero (i.e, (*) \forall \epsilon > 0 , \exists n_0 : \forall n( n \geq n_0  \implies  |b_n| < \epsilon  ) ) (Notação : \lim_{n} b_n = 0 ou \lim_{n \to +\infty } b_n = 0 ) tal que a parti de um certo índice N , todos termos c_n, com n \geq N não excede a b_n , i.e, (\forall n \geq N ) ( c_n \leq b_n ) , então a sequencia (c_n) tbm converge para zero .

Dicas p prova : Use a hipótese de \lim_{n}  b_n = 0 . Use a definição (*) . Depois tome M como o máximo entre n_0 e N . Observe que para todo n maior igual a M vc terá valida (*) e tbm a segunda desigualdade que majora os c_n's , com n > N .

.

Seu exercício segue como um corolário do resultado acima : Defina c_n := \frac{|a_{n+1} |}{|a_n| } . Por hipótese (c_n) converge para L . Suponhamos que L < 1 . Nota que 0 \leq L <1 Fixemos um número que R \in (L,1) \subseteq (0,1) . Como (c_n) converge para L , podemos encontrar n_0 tal que | c_n - L | <  R - L vale sempre que n > n_0 .

Logo , para todo n > n_0   ,    |c_n | = | (c_n- L) + L|  \leq  | c_n - L | + L  <  (R-L) + L = R . Donde , para todo n > n_0 ,
|a_{n+1} | <  |a_n| R . Em virtude desta desigualdade (recursiva ) nota o seguinte :

n = n_0  :     ||a_{n_0+1} | <  |a_0| R
n= n_0 + 1 :    |a_{n_0 +2} | <  |a_{n_0+1} | R <  |a_0| R^2
(...)

n = n_0 + k  :  |a_{n_0 +k + 1} |  <  |a_0| R^k = |a_0| R^{n-n_0}  = \frac{|a_0|}{R^{n_0}} R^n .

Não é dificil provar por indução que vale a_{n+1} <   \frac{|a_0|}{R^{n_0}} R^n , \forall n > n_0 .

Chame \lambda := \frac{|a_0|}{R^{n_0}} R^n e ponha b_n := \lambda R^n .

Exercício : Mostre que \lim_{n} b_n = 0 e conclua que \lim_n}| a_n | = 0 .

Obs.:

"
Em primeiro lugar, não consigo interpretar o que seria o índice n do {a}_{n} tendendo a infinito. Significa algum valor muito grande? Posso considerar o {a}_{n} como sendo "infinito" (e nesse caso o resultado L do limite seria 1)? A seguir, o que significa mostrar que o limite é menor que 1? Como mostrar que ele tende a zero? "

Uma sequência num conjunto X é meramente uma função a :  \mathbb{N}  \longrightarrow X , em que denotamos a imagem de n por a por a_n ao invés da notação tradicional a(n) . Para denotar esta função especial simplesmente escrevemos (a_n ) ou (a_n)_{n \in \mathbb{N} ) ou simplesmente \{a_n \} . Note que X é só um conjunto .Exemplos :

i) Consideremos um circulo unitário S contido no \mathbb{R}^2 . Dado um número natural n \geq 3 . Denote o (único ) polígono regular P_n inscrito no circulo S . ( Por exemplo , P_3 é um triangulo equilátero , P_4 Quadrado , .... ) . Seja X o conjunto de todos estes polígonos P_n . Nota que a correspondência ,
n \mapsto  P_{n+2} define uma aplicação a :  \mathbb{N}  \longrightarrow X , i.e., (a_n) é uma sequencia cujo o n-esimo termo é dado por a_n :=  P_{n+2} . Observe que a medida que n cresce , o polígono fica cada vez mais 'parecido' com o circulo S ... Este comportamento nos leva a conjectura que esta sequencia converge para o circulo S em notação isto seria dizer lim_{n} a_n = S . Mas infelizmente , a priori , não podemos responder esta questão . Para tal deveríamos introduzir em X , uma topologia , onde X munido desta topologia seria o que chamamos de espaço topológico , onde poderíamos responder com precisão se tal sequencia convergiria ou não para o Circulo .

ii) Seja X = {2,3,5 , \hdots  } o conjunto de todos os primos em \mathbb{N} então existe uma (única ) bijeção crescente p : \mathbb{N} \longrightarrow X , i.e , (p_n) é uma sequencia em X crescente 2 = p_1 < p_2 = 3 < p_3 = 5 < p_4 = 7 < \hdots  < p_n <  \hdots . Pela infinitude dos números primos esta sequência não pode ser limitada , logo em particular tal sequencia não é convergente , \lim_{n} p_n = + \infty .


iii) Seja X = \mathbb{Q} . Observe que para cada n \mathbb{N} , a_n := (1 + \frac{1}{n})^n é uma número racional . Esta correspondência define uma sequencia (a_n) em X a qual nao converge em X . Mas , converge em \mathbb{R} .

iV) Seja f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} uma função tal que \lim_{ x \to +\infty} f(x) = 2 .(limite usual calculo 1) . Note que esta função restrita a \mathbb{N} é uma sequência (a_n) em \mathbb{R} dada por a_n := f(n) .
É possível mostrar sem dificuldade que esta sequência tbm converge para 2 .
e8group
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 1400
Registrado em: Sex Jun 01, 2012 12:10
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia Elétrica
Andamento: cursando


Voltar para Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 8 visitantes

 



Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: my2009 - Qua Dez 08, 2010 21:48

Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Anonymous - Qui Dez 09, 2010 17:25

Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Pinho - Qui Dez 16, 2010 13:57

my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
f(4)=2.4=8
f(10)=2.10=20


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: dagoth - Sex Dez 17, 2010 11:55

isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Thiago 86 - Qua Mar 06, 2013 23:11

Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: