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[Limites] Interpretação de exercício

[Limites] Interpretação de exercício

Mensagempor Daniel Bosi » Seg Mai 16, 2016 22:20

Olá pessoal!

Não estou conseguindo entender o seguinte problema:

Suponhamos que {a}_{n}\neq0 para todo n\in\mathbb{N} e que o limite L=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}} \right| existe. Mostre que se L<1, então \lim_{n\rightarrow\infty}{a}_{n}=0.

Em primeiro lugar, não consigo interpretar o que seria o índice n do {a}_{n} tendendo a infinito. Significa algum valor muito grande? Posso considerar o {a}_{n} como sendo "infinito" (e nesse caso o resultado L do limite seria 1)? A seguir, o que significa mostrar que o limite é menor que 1? Como mostrar que ele tende a zero?
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Re: [Limites] Interpretação de exercício

Mensagempor Daniel Bosi » Qui Mai 19, 2016 11:23

Amigos, talvez eu tenha colocado essa questão dentro da área errada, já que após refletir mais sobre o problema percebo que este limite é o limite de uma sequência, e não de uma função.

O que eu tenho pensado é: para mostrar que se o limite é menor que um, a sequência indo a infinito converge para zero sugere que, na prática, uma sequência do tipo \frac{1}{n} seria um dos exemplos dessa situação. Porém, uma vez que a questão pede uma demonstração rigorosa e geral, estou com dificuldade de organizar uma linha de raciocínio.

Apenas para organizar um raciocínio, pensando especificamente no exemplo da sequência \frac{1}{n} e substituindo no primeiro limite:

L=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}} \right| considerando que {a}_{n}=\left( \frac{1}{n} \right)

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n+1} que converge inferiormente para 1.

Se alguém tiver alguma sugestão de como eu posso estruturar essa demonstração fico no aguardo!
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Re: [Limites] Interpretação de exercício

Mensagempor e8group » Qui Mai 19, 2016 20:27

Começamos com um resultado :

Seja (c_n) uma sequencia de termos positivos . Suponhamos que exista uma sequencia (b_n) convergente para zero (i.e, (*) \forall \epsilon > 0 , \exists n_0 : \forall n( n \geq n_0  \implies  |b_n| < \epsilon  ) ) (Notação : \lim_{n} b_n = 0 ou \lim_{n \to +\infty } b_n = 0 ) tal que a parti de um certo índice N , todos termos c_n, com n \geq N não excede a b_n , i.e, (\forall n \geq N ) ( c_n \leq b_n ) , então a sequencia (c_n) tbm converge para zero .

Dicas p prova : Use a hipótese de \lim_{n}  b_n = 0 . Use a definição (*) . Depois tome M como o máximo entre n_0 e N . Observe que para todo n maior igual a M vc terá valida (*) e tbm a segunda desigualdade que majora os c_n's , com n > N .

.

Seu exercício segue como um corolário do resultado acima : Defina c_n := \frac{|a_{n+1} |}{|a_n| } . Por hipótese (c_n) converge para L . Suponhamos que L < 1 . Nota que 0 \leq L <1 Fixemos um número que R \in (L,1) \subseteq (0,1) . Como (c_n) converge para L , podemos encontrar n_0 tal que | c_n - L | <  R - L vale sempre que n > n_0 .

Logo , para todo n > n_0   ,    |c_n | = | (c_n- L) + L|  \leq  | c_n - L | + L  <  (R-L) + L = R . Donde , para todo n > n_0 ,
|a_{n+1} | <  |a_n| R . Em virtude desta desigualdade (recursiva ) nota o seguinte :

n = n_0  :     ||a_{n_0+1} | <  |a_0| R
n= n_0 + 1 :    |a_{n_0 +2} | <  |a_{n_0+1} | R <  |a_0| R^2
(...)

n = n_0 + k  :  |a_{n_0 +k + 1} |  <  |a_0| R^k = |a_0| R^{n-n_0}  = \frac{|a_0|}{R^{n_0}} R^n .

Não é dificil provar por indução que vale a_{n+1} <   \frac{|a_0|}{R^{n_0}} R^n , \forall n > n_0 .

Chame \lambda := \frac{|a_0|}{R^{n_0}} R^n e ponha b_n := \lambda R^n .

Exercício : Mostre que \lim_{n} b_n = 0 e conclua que \lim_n}| a_n | = 0 .

Obs.:

"
Em primeiro lugar, não consigo interpretar o que seria o índice n do {a}_{n} tendendo a infinito. Significa algum valor muito grande? Posso considerar o {a}_{n} como sendo "infinito" (e nesse caso o resultado L do limite seria 1)? A seguir, o que significa mostrar que o limite é menor que 1? Como mostrar que ele tende a zero? "

Uma sequência num conjunto X é meramente uma função a :  \mathbb{N}  \longrightarrow X , em que denotamos a imagem de n por a por a_n ao invés da notação tradicional a(n) . Para denotar esta função especial simplesmente escrevemos (a_n ) ou (a_n)_{n \in \mathbb{N} ) ou simplesmente \{a_n \} . Note que X é só um conjunto .Exemplos :

i) Consideremos um circulo unitário S contido no \mathbb{R}^2 . Dado um número natural n \geq 3 . Denote o (único ) polígono regular P_n inscrito no circulo S . ( Por exemplo , P_3 é um triangulo equilátero , P_4 Quadrado , .... ) . Seja X o conjunto de todos estes polígonos P_n . Nota que a correspondência ,
n \mapsto  P_{n+2} define uma aplicação a :  \mathbb{N}  \longrightarrow X , i.e., (a_n) é uma sequencia cujo o n-esimo termo é dado por a_n :=  P_{n+2} . Observe que a medida que n cresce , o polígono fica cada vez mais 'parecido' com o circulo S ... Este comportamento nos leva a conjectura que esta sequencia converge para o circulo S em notação isto seria dizer lim_{n} a_n = S . Mas infelizmente , a priori , não podemos responder esta questão . Para tal deveríamos introduzir em X , uma topologia , onde X munido desta topologia seria o que chamamos de espaço topológico , onde poderíamos responder com precisão se tal sequencia convergiria ou não para o Circulo .

ii) Seja X = {2,3,5 , \hdots  } o conjunto de todos os primos em \mathbb{N} então existe uma (única ) bijeção crescente p : \mathbb{N} \longrightarrow X , i.e , (p_n) é uma sequencia em X crescente 2 = p_1 < p_2 = 3 < p_3 = 5 < p_4 = 7 < \hdots  < p_n <  \hdots . Pela infinitude dos números primos esta sequência não pode ser limitada , logo em particular tal sequencia não é convergente , \lim_{n} p_n = + \infty .


iii) Seja X = \mathbb{Q} . Observe que para cada n \mathbb{N} , a_n := (1 + \frac{1}{n})^n é uma número racional . Esta correspondência define uma sequencia (a_n) em X a qual nao converge em X . Mas , converge em \mathbb{R} .

iV) Seja f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} uma função tal que \lim_{ x \to +\infty} f(x) = 2 .(limite usual calculo 1) . Note que esta função restrita a \mathbb{N} é uma sequência (a_n) em \mathbb{R} dada por a_n := f(n) .
É possível mostrar sem dificuldade que esta sequência tbm converge para 2 .
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Assunto: função demanda
Autor: ssousa3 - Dom Abr 03, 2011 20:55

alguém poderia me ajudar nesse exercício aqui Uma loja de CDs adquire cada unidade por R$20,00 e a revende por R$30,00. Nestas condições,
a quantidade mensal que consegue vender é 500 unidades. O proprietário estima que, reduzindo o preço para R$28,00, conseguirá vender 600 unidades por mês.
a) Obtenha a função demanda, supondo ser linear

Eu faço ensino médio mas compro apostilas de concursos para me preparar para mercado de trabalho e estudar sozinho não é fácil. Se alguém puder me ajudar aqui fico grato


Assunto: função demanda
Autor: ssousa3 - Seg Abr 04, 2011 14:30

Gente alguém por favor me ensine a calcular a fórmula da função demanda *-)


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