[Limites] Interpretação de exercício

por **Daniel Bosi** » Seg Mai 16, 2016 22:20

Olá pessoal!

Não estou conseguindo entender o seguinte problema:

Suponhamos que ${a}_{n}\neq0$ para todo $n\in\mathbb{N}$ e que o limite $L=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}} \right|$ existe. Mostre que se L<1

, então $\lim_{n\rightarrow\infty}{a}_{n}=0$ .

Em primeiro lugar, não consigo interpretar o que seria o índice n do ${a}_{n}$ tendendo a infinito. Significa algum valor muito grande? Posso considerar o ${a}_{n}$ como sendo "infinito" (e nesse caso o resultado L do limite seria 1)? A seguir, o que significa mostrar que o limite é menor que 1? Como mostrar que ele tende a zero?

por **Daniel Bosi** » Qui Mai 19, 2016 11:23

Amigos, talvez eu tenha colocado essa questão dentro da área errada, já que após refletir mais sobre o problema percebo que este limite é o limite de uma sequência, e não de uma função.

O que eu tenho pensado é: para mostrar que se o limite é menor que um, a sequência indo a infinito converge para zero sugere que, na prática, uma sequência do tipo $\frac{1}{n}$ seria um dos exemplos dessa situação. Porém, uma vez que a questão pede uma demonstração rigorosa e geral, estou com dificuldade de organizar uma linha de raciocínio.

Apenas para organizar um raciocínio, pensando especificamente no exemplo da sequência $\frac{1}{n}$ e substituindo no primeiro limite:

$L=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}} \right|$ considerando que ${a}_{n}=\left( \frac{1}{n} \right)$

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n+1}$ que converge inferiormente para 1.

Se alguém tiver alguma sugestão de como eu posso estruturar essa demonstração fico no aguardo!

por **e8group** » Qui Mai 19, 2016 20:27

Começamos com um resultado :

Seja (c_n)

uma sequencia de termos positivos . Suponhamos que exista uma sequencia (b_n)

convergente para zero (i.e, (*) $\forall \epsilon > 0 , \exists n_0 : \forall n( n \geq n_0 \implies |b_n| < \epsilon )$ ) (Notação : $\lim_{n} b_n = 0$ ou $\lim_{n \to +\infty } b_n = 0$ ) tal que a parti de um certo índice

, todos termos c_n

, com $n \geq N$ não excede a b_n

, i.e, $(\forall n \geq N ) ( c_n \leq b_n )$ , então a sequencia (c_n)

tbm converge para zero .

Dicas p prova : Use a hipótese de $\lim_{n} b_n = 0$ . Use a definição (*) . Depois tome M como o máximo entre n_0 e N . Observe que para todo n maior igual a M vc terá valida (*) e tbm a segunda desigualdade que majora os c_n's , com n > N .

.

Seu exercício segue como um corolário do resultado acima : Defina $c_n := \frac{|a_{n+1} |}{|a_n| }$ . Por hipótese (c_n)

converge para

. Suponhamos que L < 1

. Nota que $0 \leq L <1$ Fixemos um número que $R \in (L,1) \subseteq (0,1)$ . Como (c_n) converge para L , podemos encontrar n_0

tal que

vale sempre que n > n_0

.

Logo , para todo $n > n_0 , |c_n | = | (c_n- L) + L| \leq | c_n - L | + L < (R-L) + L = R$ . Donde , para todo n > n_0

,
$|a_{n+1} | < |a_n| R$ . Em virtude desta desigualdade (recursiva ) nota o seguinte :

$n = n_0 : ||a_{n_0+1} | < |a_0| R$
$n= n_0 + 1 : |a_{n_0 +2} | < |a_{n_0+1} | R < |a_0| R^2$
(...)

$n = n_0 + k : |a_{n_0 +k + 1} | < |a_0| R^k = |a_0| R^{n-n_0} = \frac{|a_0|}{R^{n_0}} R^n$ .

Não é dificil provar por indução que vale $a_{n+1} < \frac{|a_0|}{R^{n_0}} R^n , \forall n > n_0$ .

Chame $\lambda := \frac{|a_0|}{R^{n_0}} R^n$ e ponha $b_n := \lambda R^n$ .

Exercício : Mostre que $\lim_{n} b_n = 0$ e conclua que $\lim_n}| a_n | = 0$ .

Obs.:

"
Em primeiro lugar, não consigo interpretar o que seria o índice n do {a}_{n} tendendo a infinito. Significa algum valor muito grande? Posso considerar o {a}_{n} como sendo "infinito" (e nesse caso o resultado L do limite seria 1)? A seguir, o que significa mostrar que o limite é menor que 1? Como mostrar que ele tende a zero? "

Uma sequência num conjunto

é meramente uma função $a : \mathbb{N} \longrightarrow X$ , em que denotamos a imagem de

por

ao invés da notação tradicional a(n)

. Para denotar esta função especial simplesmente escrevemos (a_n )

ou $(a_n)_{n \in \mathbb{N} )$ ou simplesmente $\{a_n \}$ . Note que

é só um conjunto .Exemplos :

i) Consideremos um circulo unitário S contido no $\mathbb{R}^2$ . Dado um número natural $n \geq 3$ . Denote o (único ) polígono regular P_n

inscrito no circulo S . ( Por exemplo , P_3 é um triangulo equilátero , P_4 Quadrado , .... ) . Seja X o conjunto de todos estes polígonos P_n . Nota que a correspondência ,
$n \mapsto P_{n+2}$ define uma aplicação $a : \mathbb{N} \longrightarrow X$ , i.e., (a_n)

é uma sequencia cujo o n-esimo termo é dado por $a_n := P_{n+2}$ . Observe que a medida que n cresce , o polígono fica cada vez mais 'parecido' com o circulo S ... Este comportamento nos leva a conjectura que esta sequencia converge para o circulo

em notação isto seria dizer $lim_{n} a_n = S$ . Mas infelizmente , a priori , não podemos responder esta questão . Para tal deveríamos introduzir em X , uma topologia , onde X munido desta topologia seria o que chamamos de espaço topológico , onde poderíamos responder com precisão se tal sequencia convergiria ou não para o Circulo .

ii) Seja $X = {2,3,5 , \hdots }$ o conjunto de todos os primos em $\mathbb{N}$ então existe uma (única ) bijeção crescente $p : \mathbb{N} \longrightarrow X$ , i.e , (p_n)

é uma sequencia em

crescente $2 = p_1 < p_2 = 3 < p_3 = 5 < p_4 = 7 < \hdots < p_n < \hdots$ . Pela infinitude dos números primos esta sequência não pode ser limitada , logo em particular tal sequencia não é convergente , $\lim_{n} p_n = + \infty$ .

iii) Seja $X = \mathbb{Q}$ . Observe que para cada $n \mathbb{N}$ , $a_n := (1 + \frac{1}{n})^n$ é uma número racional . Esta correspondência define uma sequencia (a_n)

em

a qual nao converge em

. Mas , converge em $\mathbb{R}$ .

iV) Seja $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ uma função tal que $\lim_{ x \to +\infty} f(x) = 2$ .(limite usual calculo 1) . Note que esta função restrita a $\mathbb{N}$ é uma sequência (a_n)

em $\mathbb{R}$ dada por a_n := f(n)

.
É possível mostrar sem dificuldade que esta sequência tbm converge para 2 .

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