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Última mensagem por Janayna
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por pedro22132938 » Sex Ago 21, 2015 20:10
Suponha f definida e contínua nos Reais e que f (x) = 0 para todo x racional. Prove que f (x)=0,
para todo x real.(Sugestão:use o teorema da conservação do sinal).
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pedro22132938
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por e8group » Dom Ago 23, 2015 20:21
Suponha f não identicamente nula , então podemos escrever
para designar
o número irracional tal que
. Só para fixar ideias , assuma
(0 outro caso é inteiramente análogo ) . Como f é contínua , então vale a " conservação do sinal " , e assim teremos , para algum
,
para todo
.Mas , pela densidade dos racionais em
, temos
, o que implica
p/ algum x racional que es uma contradição !
Outra forma ...Sobre as mesmas hipóteses acima sobre
. Fixe
. Dado qualquer
, por densidade , o intervalo aberto
contém números racionais .Assim , temos um racional
, mas
descontínua em
(Contradição !)
Alternativamente ,(assumindo que o leitor está familiarizado com a topologia de
)
1)
usando o fato que preimagem (= imagem inversa ) de um aberto (do espaço de chegada ) por uma aplicação contínua é também um aberto (do espaço de saída ), temos que o conjunto abaixo
é aberto em
, pois tal conjunto é simplesmente a preimagem do intervalo aberto
pela aplicação contínua
. Ora , então só pode ser
, do contrário , dado
, podemos obter
tal que
, uma contradição ! (Pois
é denso em
, e isto implica
)x]
2 )
Nota que se para algum
, tem-se
então f se anula em todos os pontos do fecho de X
. Fixe
. Qualquer intervalo aberto contendo x tem interseção não vazia com X (usando a caracterização para o fecho ) . Nota que ou
ou
. Se
fosse
, tomando
, o intervalo aberto
não conteria o zero . Mas , para qualquer
,
é não vazio (pois x está no fecho de X ) .Assim , dado
temos
o que implica f descontínua em x . Contradição ! Portanto ,
.Como x é arbitrário , obtemos
.
Em particular se X for denso (e.g. ,
) , então f se anula em todos os pontos de
P.S.:
Fixados os universos
...
Dada qualquer aplicação
, podemos definir as seguintes funções
e
.
Onde
denote a coleção de todos os subconjuntos de A .
i) Dado
(que é a mesma coisa dizer
) , chamamos o conjunto
de imagem direta de X por f e por abuso de notação simplesmente denotamos por
(em particular quando X = A , tem o conjunto imagem da função f )
ii) Dado
, chamamos o conjunto
de preimagem (ou imagem inversa ) e denotamos por abuso de notação
(Não é imagem direta de Y pela função inversa , cuidado ! Nem se sabe se f admite uma inversa )
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e8group
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Se chegou até aqui, provavelmente tenha interesse pelos tópicos relacionados abaixo.
Aproveite a leitura. Bons estudos!
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- Prove: n(A X B) = n(A) * n(B)
por juliomarcos » Dom Set 14, 2008 02:58
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Conjuntos
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- Prove que
por Balanar » Dom Ago 29, 2010 17:22
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- Última mensagem por MarceloFantini
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Álgebra Elementar
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por chronoss » Dom Abr 21, 2013 16:52
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Álgebra Elementar
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Sáb Mar 07, 2020 12:39
Geometria Analítica
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Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42
Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois
2°) Admitamos que
, seja verdadeira:
(hipótese da indução)
e provemos que
Temos: (Nessa parte)
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55
Boa noite Fontelles.
Não sei se você está familiarizado com o
Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.
Ele dá uma equação, no caso:
E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:
Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que
seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para
.
Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.
Espero ter ajudado.
Um abraço.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28
Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32
Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25
Boa tarde Fontelles!
Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.
O que temos que provar é isso:
, certo? O autor começou do primeiro membro:
Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:
Que é outra verdade. Agora, com certeza:
Agora, como
é
a
, e este por sua vez é sempre
que
, logo:
Inclusive, nunca é igual, sempre maior.
Espero (dessa vez) ter ajudado.
Um abraço.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39
Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37
c.q.d. = como queriamos demonstrar =)
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33
Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05
Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04
MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.
Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa.
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