[Integral] Dúvida com uma integral simples

por **Leonardo Ribeiro** » Sex Abr 03, 2015 20:02

Estava resolvendo uma questão de Equações Diferenciais e me deparei com a seguinte integral:

$\int\frac{1}{1-s}ds$

É bastante fácil de resolver. Acontece que não sei porque motivo, no momento eu decidi retirar da integral o fator "-1" que multiplica o "s". Fazendo isso, no final estava obtendo uma resposta diferente, depois refiz sem retirar esse sinal e estava dando certo.

Resolvi então sair do problema que estava resolvendo pra tentar entender o que fiz de errado. Fiz os seguinte cálculos:

$\frac{1}{1-s} = -\frac{1}{s-1}$

Integrando dos dois lados e somando as constantes em uma só:

$\int\frac{1}{1-s}ds = -\int\frac{1}{s-1}ds$

$-\ln(1-s) = -\ln(s-1) + B$

Multiplicando tudo por -1:

$\ln(1-s) = \ln(s-1) + C$

Ai está o problema. C é uma constante arbitrária. Se tomarmos C = 0 por exemplo, teríamos que:

$\ln(1-s) = \ln(s-1)$

E isso não é possível.

O que fiz de errado aí? Se eu não seguir esse caminho de retirar o "-1" resolvo rápido e dá tudo certo. Mas queria entender o que aconteceu pra não cometer o erro em algum outro problema.

por **Leonardo Ribeiro** » Sex Abr 03, 2015 21:06

Pessoal, descobri o erro.

$\int\frac{1}{x}dx = \ln|x| + C$

Esqueci que a integral de (1/x)dx é o ln do módulo de x.

Considerando isso, o resultado que eu obteria nos cálculos seria coerente, porque

|1 - s| = |s - 1|