Limite trigonométrico

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Limite trigonométrico

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Limite trigonométrico

Mensagempor Fernandobertolaccini » Dom Jul 27, 2014 19:36

Sendo S=cos(x)+cos²(x)+cos³(x)+...... com 0<x<\frac{\pi}{2}, determinar o \lim_{x->0} x^2.S



Resp: 2


Muito Obrigado !!
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Re: Limite trigonométrico

Mensagempor adauto martins » Qua Out 22, 2014 16:52

S=cosx+{cosx}^{2}+{cosx}^{3}+...,e uma PG infinita de razao r=cosx,como\left|cosx \right|\preceq1...temos {x}^{2}.S={x}^{2}.(cosx+{cosx}^{2}+{cosx}^{3}+...)={x}^{2}(cosx/(1-cosx))={x}^{2}(cosx/(2.{sen(x/2)}^{2})=[tex]2.({x}^{2}/2)(cosx/(2{sen(x/2)}^{2})=2{(x/2)}^{2}.cosx/({sen(x/2)}^{2})=2.cosx/({sen(x/2)/(x/2)}^{2}),logo \lim_{x\rightarrow0}2.cosx/({sen(x/2)/(x/2)}^{2})=2,pois \lim_{x\rightarrow0}cosx=1,\lim_{x\rightarrow0}{sen((x/2)/(x/2)})^{2}=1
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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