Limite trigonométrico

por **Fernandobertolaccini** » Dom Jul 27, 2014 19:36

Sendo S=cos(x)+cos²(x)+cos³(x)+...... com $0<x<\frac{\pi}{2}$ , determinar o $\lim_{x->0} x^2.S$

Resp: 2

Muito Obrigado !!

por **adauto martins** » Qua Out 22, 2014 16:52

S= $cosx+{cosx}^{2}+{cosx}^{3}+...$ , $e uma PG infinita de razao r=cosx,como\left|cosx \right|\preceq1$ ...temos ${x}^{2}.S={x}^{2}.(cosx+{cosx}^{2}+{cosx}^{3}+...)={x}^{2}(cosx/(1-cosx))={x}^{2}(cosx/(2.{sen(x/2)}^{2})=[tex]2.({x}^{2}/2)(cosx/(2{sen(x/2)}^{2})=2{(x/2)}^{2}.cosx/({sen(x/2)}^{2})$ = $2.cosx/({sen(x/2)/(x/2)}^{2}),logo \lim_{x\rightarrow0}2.cosx/({sen(x/2)/(x/2)}^{2})=2$ ,pois $\lim_{x\rightarrow0}cosx=1,\lim_{x\rightarrow0}{sen((x/2)/(x/2)})^{2}=1$

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