Derivadas

por **Fernandobertolaccini** » Dom Jul 06, 2014 16:48

Não estou conseguindo fazer essas questões:

1) Achar Y'(pi/6) sendo y=[1+sen(x)/cos(x)]

Resp: 2

2) Sendo F(x) = Cos[arcsen(x)] Calcule f'raiz(3)/2

Resp: - Raiz(3)

por **e8group** » Dom Jul 06, 2014 20:05

Caro Fernandobertolaccini , as notações não ficaram 100% claras . Por favor , utilize o sistema LaTeX para redigir suas equações , além disso uma questão por tópico .

Questão 2 :

Aplicando a regra da cadeia

$F'(x) = cos'(arcsin(x)) \cdot arcsin'(x) = - sin(arcsin(x)) \cdot arcsin'(x) = \\ -x \cdot arcsin'(x)$ .

$(\sharp )$ (aqui foi usado que a função seno composta com sua inversa arco seno nos fornece a função identidade e vice-versa )

Agora apenas precisamos derivar a função inversa do seno (a qual não me recordo). Para tal ,(já lhe adianto que o processo é bem analítico ) defina

$\alpha(x) = arcsin(x)$ , fazendo seno aplicado a $\alpha (x)$ temos

$sin(\alpha (x)) = x$ . Derivando-se com respeito a

tem-se que

$[sin(\alpha (x)) ]' = x' = 1$ iff $sin'(\alpha(x)) \cdot \alpha'(x) = 1$ iff $cos(\alpha(x)) \cdot \alpha'(x) = 1 (*)$ .

Agora note que o intervalo [-1,1]

é lavado ao intervalo $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ]$ pela aplicação $\alpha$ e $cos (x) \geq 0 (\sharp \sharp )$ para todo $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ]$ . Ocorrendo a igualdade somente quando $x = \pm \frac{\pi}{2}$ .

Analisando (*)

, vemos que devemos impor que $\alpha(x) \neq \pm \frac{\pi}{2}$ para isto acontecer basta que $x \neq \pm 1$ , ou seja , $x \in (-1,1)$ e assim , podemos dividir ambos membros de (*)

por $cos(\alpha(x))$ e isto resultará

$\alpha'(x) = \frac{1}{cos(\alpha(x))} , x \in (-1,1)$ .

Em prol de escrever $\alpha'(x)$ em função apenas de

, usamos um artificio o qual nos possibilitará estabelecer uma ponte entre seno e cosseno , tal artificio é oriundo da identidade trigonométrica fundamental que diz que

$cos^2 \theta + sin^2 \theta = 1$ para qualquer que seja $\theta$ real .

Desta forma , $cos^2 (\alpha(x)) + sin^2 (\alpha(x)) = 1$ ,ou seja $| cos(\alpha(x)) | = \sqrt{1- sin^2(\alpha(x))}$ . Que devido a dois fatores já mencionados , vide $(\sharp)$ e $(\sharp \sharp )$

tem-se que $cos(\alpha(x)) = \sqrt{1 - x^2}$ fazendo as devidas substituições encontrará [cos(arcsin(x))]'

. Depois basta fazer $x = \sqrt{3}/2$ .

Um caminho alternativo aproveitando os argumentos $(*) ,(\sharp) , (\sharp \sharp)$ , porém agora de forma sucinta cabendo a vc identificar o emprego deles em cada manipulação ...

$cos(arcsin(x)) = \sqrt{1 - sin^2(arcsin(x))} = \sqrt{1- x^2}$ . Logo ,

$[cos(arcsin(x)) ]' = [ \sqrt{1- x^2}]' = ...$

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