[limites] - dúvida

por **natanaelskt** » Sáb Jun 28, 2014 09:35

Fala,galera. preciso de ajuda neste exercício. não sei calcular estes limites. se alguém souber eu agradeceria se me ajudasse. postei o exercício em anexo-foto.

por **e8group** » Sáb Jun 28, 2014 13:26

Por favor , apenas anexe imagens se for necessário .

O primeiro vale $\frac{1}{2}$ e o segundo

.

Dicas :

Para o primeiro , limites fundamentais $\lim_{x \to 0} sin(x)/x = 1$ e $\lim_{x \to 0} (x+1)^{1/x} = e$ .(p/ usar tal resultados , multiplique o numerador e denominador por 1 + cos x

e também use que $ln(1+x)/x = ln(1+x)^{1/x}$ .)

Para o segundo , estude o comportamento de x^x

no + infinito .Note que $\frac{x^2}{x^3+1} = x^2 \cdot \left( \frac{1}{x^3 +1} \right)$ . É sempre verdade que $x^3 +1 \geq x^3 > 0$ para todo x > 0

o que equivale dizer que $\frac{1}{x^3+1} \leq \frac{1}{x^3}$ para todo x > 0 ou ainda $\frac{x^2}{x^3+1} \leq \frac{x^2}{x^3} = \frac{1}{x}$ para todo x > 0 . E assim , temos a desigualdade

$\left(\frac{x^2}{x^3+1} \right)^x \leq \frac{1}{x^x} , \forall x > 0$ .

Observe também a positividade de $\left(\frac{x^2}{x^3+1} \right)^x$ .

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