Limite de uma função trigonométrica

por **Douglas16** » Sáb Mar 16, 2013 21:52

$\lim_{x\rightarrow\frac{\Pi}{2}} \left(\Pi-2x \right)tan\left(x \right)$
Como $\left(\Pi-2x \right)$ e cos x

tendem a zero quando $x\rightarrow\frac{\Pi}{2}$ , então o limite existe.
Agora só não sei se devo anular $\left(\Pi-2x \right)$ com cos x

, para eliminar a indeterminação ou devo procurar uma identidade para resolver o limite.

por **e8group** » Sáb Mar 16, 2013 23:39

Note que , $(\pi -2x)tan(x) = 2(\frac{\pi}{2} -x)tan(x) = 2(\frac{\pi}{2} -x)\frac{sin(x)}{cos(x)}$ .

De $cos(x) = sin(\frac{\pi}{2} -x)$ segue ,
$(\pi -2x)tan(x) = 2(\frac{\pi}{2} -x)\frac{sin(x)}{sin(\frac{\pi}{2} -x)} = 2 \cdot \frac{sin(x)}{\dfrac{sin(\dfrac{\pi}{2} -x)}{\dfrac{\pi}{2} -x}}$ .

Consegue concluir ?

por **Douglas16** » Dom Mar 17, 2013 00:07

Eu tinha conseguido resolver antes de verificar se alguém tinha respondido, mas entendi sua resolução, e considerei mais simples que a minha resolução, bastava apenas lembrar da propriedade de que $cosx=sin\left(\frac{\Pi}{2}-x \right)$ .
Tipo, eu me impressiono comigo mesmo pela falta de capacidade de lembrar de coisas óbvias, vou tentar me concertar e vê o que está acontecendo comigo.
O que você faz para encontrar a resolução tão facilmente, tipo, você não esquece dessas propriedades?

por **e8group** » Dom Mar 17, 2013 00:34

Apenas deduzo ,não consigo lembrar muitas coisas .Do ponto de vista geométrico é fácil ver que $cos(x) = sin(\pi/2 - x)$ .De fato , sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos (a) sin(b)