DERIVADAS PARCIAIS e continuidade - função é diferenciável?

por **inkz** » Seg Nov 26, 2012 20:37

Determine o conjunto dos pontos onde a função dada é diferenciavel. Justifique.

f(x,y) =

xy / x² + y² se (x,y) =/= (0,0)
0 se (x,y) = (0,0)

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Pessoal, por favor, verifiquem se o que pensei em fazer estaria correto.

Verificar se existem as derivadas parciais nos pontos, e onde são continuas. Onde essas forem contínuas, são os pontos de difereciabilidade da função.

Porém, antes de mais nada, como eu calculo as derivadas parciais no ponto (0,0)? Apenas via definição? Obrigado!!

por **MarceloFantini** » Seg Nov 26, 2012 21:39

Inkz, novamente, use LaTeX para suas fórmulas. É bem complicado ler suas expressões, facilitaria para todos.

Para resolver, calcule as derivadas parciais e verifiquem se elas são contínuas na origem. Faça os limites das derivadas e veja se elas tem o mesmo valor na origem. Se sim, a função é diferenciável na origem e portanto é contínua.

É possível que as derivadas parciais sejam diferentes mas que a função seja contínua, logo se não for este o caso comente. Use LaTeX!

por **inkz** » Seg Nov 26, 2012 22:14

MarceloFantini escreveu:Inkz, novamente, use LaTeX para suas fórmulas. É bem complicado ler suas expressões, facilitaria para todos.

Para resolver, calcule as derivadas parciais e verifiquem se elas são contínuas na origem. Faça os limites das derivadas e veja se elas tem o mesmo valor na origem. Se sim, a função é diferenciável na origem e portanto é contínua.

É possível que as derivadas parciais sejam diferentes mas que a função seja contínua, logo se não for este o caso comente. Use LaTeX!

Olá Marcelo! Eu tentei usar o 'Editor de Fôrmulas' do editor de posts, mas não deu muito certo, então acabei deixando assim mesmo. Desculpe, tentarei usar nas próximas postagens.

Certo, calculo as derivadas parciais. Mas antes disso, como calculo derivada parcial para f(x,y) = 0?
Porque verificar a continuidade na origem?

Isso que falei está incorreto?:
Verificar se existem as derivadas parciais nos pontos, e onde são continuas. Onde essas forem contínuas, são os pontos de difereciabilidade da função.

Porque tem um teorema que diz que, para uma função é diferenciavel em p, se as derivadas parciais existem em p e estas são continuas em p. (a recíproca não é verdadeira);

abraços e obrigado pela resposta!!

por **MarceloFantini** » Ter Nov 27, 2012 00:01

Como eu disse, tome o limite das derivadas parciais. Você pode também calcular o limite $\lim_{h \to 0} \frac{ f(0+h, 0) - f(0,0)}{h}$ , analogamente para a outra coordenada.

O que você falou está correto, foi exatamente o que eu disse. Quando a função é diferenciável em um ponto ela é contínua, por isso disse pra verificar se elas existem e são contínuas.