[Limite] Tendência ao infinito

por **KleinIll** » Qua Out 31, 2012 15:04

$\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\sqrt[2]{9{x}^{6} - x}}{{x}^{3} + 1}$

Alguém pode explicar como resolver?

Reposta: 3

por **MarceloFantini** » Qua Out 31, 2012 19:04

$\frac{\sqrt{9x^6 -x}}{x^3 +1} = \frac{\sqrt{9x^6 \left( 1 - \frac{1}{9x^5} \right)}}{x^3 \left( 1 + \frac{1}{x^3} \right) } = \frac{3x^3 \sqrt{ 1 - \frac{1}{9x^5} } }{x^3 \left( 1 + \frac{1}{x^3} \right) } = \frac{3 \sqrt{ 1 - \frac{1}{9x^5} } }{ \left( 1 + \frac{1}{x^3} \right) }$ ,

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$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9x^6 -x}}{x^3 +1} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 \sqrt{ 1 - \frac{1}{9x^5} } }{ \left( 1 + \frac{1}{x^3} \right) } = 3$ .

por **KleinIll** » Qua Out 31, 2012 23:50

MarceloFantini escreveu: $\frac{\sqrt{9x^6 -x}}{x^3 +1} = \frac{\sqrt{9x^6 \left( 1 - \frac{1}{9x^5} \right)}}{x^3 \left( 1 + \frac{1}{x^3} \right) } = \frac{3x^3 \sqrt{ 1 - \frac{1}{9x^5} } }{x^3 \left( 1 + \frac{1}{x^3} \right) } = \frac{3 \sqrt{ 1 - \frac{1}{9x^5} } }{ \left( 1 + \frac{1}{x^3} \right) }$ ,

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$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9x^6 -x}}{x^3 +1} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 \sqrt{ 1 - \frac{1}{9x^5} } }{ \left( 1 + \frac{1}{x^3} \right) } = 3$ .

Obrigado, mas eu ainda não entendi. Se não for abusar, poderia explicar porque o limite é igual a três?

por **MarceloFantini** » Sex Nov 02, 2012 07:49

Lembre-se do limite $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ . Consequentemente, $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0$ para n > 0

. A partir daí, usando as propriedades de limite, temos

$\lim_{x \to \infty} \frac{3 \sqrt{1 - \frac{1}{9x^5} }}{1 + \frac{1}{x^3} } = \frac{3 \lim_{x \to \infty} \sqrt{1 - \frac{1}{9x^5}}}{\lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^3}}$

$= 3 \frac{\sqrt{ \lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{9x^5} } }{ 1 + \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^3} } = 3 \frac{ \sqrt{ 1 - \lim_{x \to \infty} \frac{1}{9x^5} } } {1 + \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^3} }$

$3 \frac{ \sqrt{ 1 - \frac{1}{9} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^5} } } {1 + \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^3} } = 3 \frac{ \sqrt{ 1 - 0} }{ 1 + 0} = 3$ .

por **KleinIll** » Sex Nov 02, 2012 10:25

MarceloFantini escreveu:Lembre-se do limite $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ . Consequentemente, $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0$ para . A partir daí, usando as propriedades de limite, temos

$\lim_{x \to \infty} \frac{3 \sqrt{1 - \frac{1}{9x^5} }}{1 + \frac{1}{x^3} } = \frac{3 \lim_{x \to \infty} \sqrt{1 - \frac{1}{9x^5}}}{\lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^3}}$

$= 3 \frac{\sqrt{ \lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{9x^5} } }{ 1 + \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^3} } = 3 \frac{ \sqrt{ 1 - \lim_{x \to \infty} \frac{1}{9x^5} } } {1 + \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^3} }$

$3 \frac{ \sqrt{ 1 - \frac{1}{9} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^5} } } {1 + \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^3} } = 3 \frac{ \sqrt{ 1 - 0} }{ 1 + 0} = 3$ .

Perfeito! Muito obrigado.