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Integral definida

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Mensagempor exploit » Ter Set 07, 2010 19:17

Olá, estou tendo problema ao realizar a seguinte integração:
L = \int_{0}^{2\pi} {\sqrt[2]{((1 - cos(t))^2 + {sen(t)}^2)}} dt.

Segundo o gabarito, a resposta é 8. Mas sempre chego na resposta 0. A função primitiva que obtive ao integrar foi
F(t) = 2\sqrt[2]{2+2cos(t)}

Obs.: Realizei duas substituições (u = 1 - cos(t), du = sent(t); e s = 2 - u, ds = du).

Antecipadamente, agradeço a atenção!

[]s,
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Re: Integral definida

Mensagempor MarceloFantini » Qua Set 08, 2010 01:30

Cara, eu tentei resolver mas não obtive resultado (eu chegava até \int_0^{2\pi} \sqrt {2 - 2cos(t)} \; dt e não conseguia sair). Fui no wolfram, ele resolveu através de várias substituições:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... +((1-cos(t))^2+%2B+sen^2(t)+)+dt

Por essa primitiva (sem a cotangente, claro), a resposta dá 8.
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Re: Integral definida

Mensagempor exploit » Qua Set 08, 2010 04:21

Estranho, a resposta não pode ser 8 usando a primitiva F(t) = 2 \sqrt[2]{2 cos(t)+2} + constant. Pois,

L = \int_{0}^{2\pi} {\sqrt[2]{((1 - cos(t))^2 + {sen(t)}^2)}} dt

= 2 \sqrt[2]{2 cos(2\pi)+2} - 2 \sqrt[2]{2 cos(0)+2} = 4 - 4 = 0. Onde cos(2\pi) = cos(0) = 1.

Além disso, quando tratamos da primitiva "final" F(t) = -2 \sqrt[2]{2 - 2cos(t)}cot(t/2) + constant, sugerida pelo tal WolframAlpha, chegamos a outro impasse, no que tange o seguinte:

L = \int_{0}^{2\pi} {\sqrt[2]{((1 - cos(t))^2 + {sen(t)}^2)}} dt

= -2 \sqrt[2]{2 - 2cos(2\pi)}cot(\pi) - (-2 \sqrt[2]{2 - 2cos(0)}cot(0)) = \infty + \infty = \infty. Onde cot(\pi) = -\infty e cot(0) = +\infty.

Alguém teria outra solução?
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Re: Integral definida

Mensagempor MarceloFantini » Qua Set 08, 2010 05:11

Isso é realmente estranho, pois:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... f+(1-cos(t))^2+%2B+sen^2(t)

Mas o Wolfram não mostra a conta.
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Re: Integral definida

Mensagempor exploit » Qua Set 08, 2010 19:58

Alguém, que entenda bem de Integrais Impróprias, poderia me dizer se devo aplicar o limite na integração? Ou dividir os pontos definidos para duas integrais? Ou ainda alguma outra idéia?
exploit
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Assunto: Funções
Autor: Emilia - Sex Dez 03, 2010 13:24

Preciso de ajuda no seguinte problema:
O governo de um Estado Brasileiro mudou a contribuição previdenciária de seus contribuintes. era de 6% sobre qualquer salário; passou para 11% sobre o que excede R$1.200,00 nos salários. Por exemplo, sobre uma salário de R$1.700,00, a contribuição anterior era: 0,06x R$1.700,00 = R$102,00; e a atual é: 0,11x(R$1.700,00 - R$1.200,00) = R$55,00.
i. Determine as funções que fornecem o valor das contribuições em função do valor x do salário antes e depois da mudança na forma de cobrança.
ii. Esboce seus gráficos.
iii. Determine os valores de salários para os quais:
- a contribuição diminuiu;
- a contribuição permaneceu a mesma;
- a contribuição aumentou.