Continuidade

por **guilherme5088** » Sáb Out 12, 2019 15:31

Encontre os valores de a e b de modo que a função abaixo seja contínua.
g(x)= x^2 cos(a+b/x), se x for diferente de 0
b, se x=0

por **adauto martins** » Ter Out 15, 2019 23:11

o conceito de limite se faz nas proximidades,do ponto considerado,do valor de uma funçao nesse ponto e nao especificamente no ponto.
para que g(x),seja continua,temos que ter:

$\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=g(0)$ ,
para $x\rightarrow 0$ ...
$g(x)={x}^{2}cos((a+b)/x) \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}{x}^{2}.cos((a+b)/x))$
o limite de $\lim_{x\rightarrow 0}cos((a+b)/x))\rightarrow 1,x\rightarrow 0$ ,
pois o $-1\preceq cosx \preceq 1$ ,
o termo (a+b)/x cresce indefinidamente,mas o cosseno tera valor maximo de 1...
como o termo ${x}^{2}$ cresce mais que o cosx,pelo teorema do confronto,prevalece o valor de ${x}^{2}$
$\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=g(0)=0\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}{x}^{2}cos((a+b)/x))=0$

podemos ter entao:
cos((a+b)/x)=1

ou

$cos((a+b)/x)=1 \Rightarrow (a+b)/x=2k\pi\neq \infty,x\rightarrow 0$
o que seria uma contradiçao...o mesmo p/cos((a+b)/x)=-1...
mas podemos ainda ter:
fazendo
$y=(a+b)/x\Rightarrow x\rightarrow 0,y\rightarrow \infty \lim_{y\rightarrow \infty}g((a+b)/y)=\lim_{y\rightarrow\infty}{((a+b)/y)}^{2}cos(y) =(a+b).\sqrt[]{(\lim_{y\rightarrow \infty})(1-{(seny)}^{2})/{y}^{4}}$
$=(a+b)^2.\sqrt[]{(\lim_{y\rightarrow\infty}).(1/{y}^{2})(1/{y}^{2}-{(seny/y)}^{2}}=(a+b).\sqrt[]{0}=0 \Rightarrow {(a+b)}^{2}=0\Rightarrow a+b=0$

Continuidade

Continuidade

Continuidade

Re: Continuidade

Quem está online