Limites pela definição

por **Fred Pellegrini** » Sex Out 28, 2016 18:21

Como provar os seguintes limites pela definição?

a) Lim (x² - 2x + 1) = 1
x->2

b) lim (x² + 4x + 4) = 1
x->-1

c) lim (3x² - 7x +2) = -2
x->1

por **adauto martins** » Seg Out 31, 2016 10:14

essa questao eu ja resolvi ela uma pa de vezes,mas vamos a mais uma:
definiçao formal de limite:
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$
dado um $\varepsilon \succ 0$ ,existe pelo menos um $\delta \succ 0$ (existem ifinitos deltas,por que?),tal que satisfaça a:
$\left|f(x)-L \right|\prec \varepsilon$ ...entao vamos a questao a),as outras ficam como exercicios...
$\lim_{x\rightarrow 2}({x}^{2}-2x-1)=1...$ :
entao dado um $\varepsilon \succ 0$ ,existe pelo um $delta \succ 0$ , $\delta \succ 0$ ...esse $\delta$ tera q. ser em funçao do $\varepsilon$ dado,ou seja: $\delta=f(\varepsilon)$ e geralmente,escolhe-se o menor $\delta$ ,ou seja $\delta =min[{\delta}_{1},{\delta}_{2},...]$ ...agora vamos ao calculo...temos q.
$\left|({x}^{2}-2x+1)-1 \right|\prec \varepsilon\Rightarrow$ e q. $\left|x-2 \right|\prec \delta$
$\left|{x}^{2}-2x \right|=\left|x \right|.\left|x-2 \right|\prec \left|x \right|.\delta\prec \varepsilon...$ ,como
$\left|x \right|-2 \left|x-2 \right|\prec \delta\Rightarrow \left|x \right|\prec \delta+2$ ,logo temos q.
$\left|x \right|.\delta \prec (\delta+2).\delta\prec \varepsilon... {\delta}^{2}+2\delta-\varepsilon \prec 0$ ...resolvendo essa inequaçao,encontraremos dois deltas...
${\delta}_{1}=\sqrt[]{1+\varepsilon}-1,{\delta}_{2}=\sqrt[]{1+\varepsilon}+1...$ ...vamos tomar ${\delta}_{1}...$ ...logo,teremos:
$\left|({x}^{2}-2x+1)-1 \right|=\left|{x}^{2}-2x \right|\preceq\left|x \right|.\left|x-2 \right|\prec (\delta+2).\delta={\delta}^{2}+2.\delta={(\sqrt[]{\varepsilon+1}-1})^{2}+2.(\sqrt[]{\varepsilon+1})=...\prec \varepsilon$ ...

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