[Integral] Dúvida com uma integral simples

[Leonardo Ribeiro]

Estava resolvendo uma questão de Equações Diferenciais e me deparei com a seguinte integral:



É bastante fácil de resolver. Acontece que não sei porque motivo, no momento eu decidi retirar da integral o fator "-1" que multiplica o "s". Fazendo isso, no final estava obtendo uma resposta diferente, depois refiz sem retirar esse sinal e estava dando certo.

Resolvi então sair do problema que estava resolvendo pra tentar entender o que fiz de errado. Fiz os seguinte cálculos:



Integrando dos dois lados e somando as constantes em uma só:





Multiplicando tudo por -1:



Ai está o problema. C é uma constante arbitrária. Se tomarmos C = 0 por exemplo, teríamos que:



E isso não é possível.

O que fiz de errado aí? Se eu não seguir esse caminho de retirar o "-1" resolvo rápido e dá tudo certo. Mas queria entender o que aconteceu pra não cometer o erro em algum outro problema.

[Leonardo Ribeiro]

Pessoal, descobri o erro.



Esqueci que a integral de (1/x)dx é o ln do módulo de x.

Considerando isso, o resultado que eu obteria nos cálculos seria coerente, porque



Obrigado de qualquer forma!