Integral

por **Janoca** » Dom Jul 13, 2014 03:54

Seja p(x) uma função contínua tal que $\int_{2}^{4}p(x)dx=7$ . Podemos concluir que:
a) $p(x)\geq 0$ , para todo x e [2, 4]
b) $p(x)\geq 0$ , para todo x e $]-\infty, +\infty[$
c) $p(x) \geq 3,5$ , para algum x e [2, 4]
d) $p(x) \geq 7$ , para algum x e [2, 4]
e) p(x)= 3,5

para todo x e [2,4].

Creio que essa questão seja relativamente simples, mas confesso que surgiu uma dúvida, primeiro quando olhei essa questão de cara, pensei q a resposta fosse a letra c ou e. Porém, to em duvida de ir logo respondendo de cara. Gostaria de entender o modo como devo resolver essa questão, gostaria de entender o que ha de errado em cada alternativa e o motivo da alternativa correta.

desde já agradeço!

por **e8group** » Dom Jul 13, 2014 13:14

(a) é Falso . Pois , a integral nos fornece área com sinal e podemos ter $\int_{2}^{3} p(x)dx < 0$ e $\int_3^4 p(x)dx > 0$ de modo que a soma das integrais vale 7 ,i.e, estamos dizemos que p não necessariamente é $\geq 0$ em [2,4]

. Deixo para vc fornecer um contra exemplo .

(b) é Falso . Segue diretamente de (a) .

(d) é falso , segue diretamente de (a) .Ou alternativamente , se tivéssemos $p(x) \geq 7$ em [2,4]

teríamos pela monotonicidade da integral que $7 = \int_2^7 p(x) dx \geq \int_2^4 7 dx = 14$ , absurdo !

(e) é falso .Segue diretamente de (a) .

O único item que sobrou é o (c) que de fato é verdadeiro .Pois , se o item (c) fosse falso teríamos que

(*) p(x) < 3.5