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Derivadas

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Mensagempor Fernandobertolaccini » Dom Jul 06, 2014 16:48

Não estou conseguindo fazer essas questões:

1) Achar Y'(pi/6) sendo y=[1+sen(x)/cos(x)]

Resp: 2

2) Sendo F(x) = Cos[arcsen(x)] Calcule f'raiz(3)/2

Resp: - Raiz(3)
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Re: Derivadas

Mensagempor e8group » Dom Jul 06, 2014 20:05

Caro Fernandobertolaccini , as notações não ficaram 100% claras . Por favor , utilize o sistema LaTeX para redigir suas equações , além disso uma questão por tópico .

Questão 2 :

Aplicando a regra da cadeia

F'(x) = cos'(arcsin(x)) \cdot  arcsin'(x)  = - sin(arcsin(x)) \cdot arcsin'(x) = \\ -x \cdot arcsin'(x) .

(\sharp ) (aqui foi usado que a função seno composta com sua inversa arco seno nos fornece a função identidade e vice-versa )

Agora apenas precisamos derivar a função inversa do seno (a qual não me recordo). Para tal ,(já lhe adianto que o processo é bem analítico ) defina

\alpha(x) =  arcsin(x) , fazendo seno aplicado a \alpha (x) temos

sin(\alpha (x)) = x . Derivando-se com respeito a x tem-se que

[sin(\alpha (x)) ]' = x' = 1 iff sin'(\alpha(x)) \cdot \alpha'(x)  =  1 iff cos(\alpha(x)) \cdot \alpha'(x) = 1 (*) .

Agora note que o intervalo [-1,1] é lavado ao intervalo [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ] pela aplicação \alpha e cos (x) \geq 0   (\sharp \sharp ) para todo x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ]. Ocorrendo a igualdade somente quando x = \pm \frac{\pi}{2} .

Analisando (*) , vemos que devemos impor que \alpha(x) \neq \pm  \frac{\pi}{2} para isto acontecer basta que x \neq \pm 1 , ou seja , x \in (-1,1) e assim , podemos dividir ambos membros de (*) por cos(\alpha(x)) e isto resultará

\alpha'(x) = \frac{1}{cos(\alpha(x))}   , x \in (-1,1) .

Em prol de escrever \alpha'(x) em função apenas de x , usamos um artificio o qual nos possibilitará estabelecer uma ponte entre seno e cosseno , tal artificio é oriundo da identidade trigonométrica fundamental que diz que

cos^2 \theta + sin^2 \theta = 1 para qualquer que seja \theta real .

Desta forma , cos^2 (\alpha(x))  + sin^2 (\alpha(x))  = 1,ou seja | cos(\alpha(x)) |  = \sqrt{1- sin^2(\alpha(x))} . Que devido a dois fatores já mencionados , vide (\sharp) e(\sharp \sharp )

tem-se que cos(\alpha(x)) = \sqrt{1 - x^2} fazendo as devidas substituições encontrará [cos(arcsin(x))]' . Depois basta fazer x = \sqrt{3}/2 .

Um caminho alternativo aproveitando os argumentos (*) ,(\sharp) , (\sharp \sharp) , porém agora de forma sucinta cabendo a vc identificar o emprego deles em cada manipulação ...

cos(arcsin(x)) =  \sqrt{1 - sin^2(arcsin(x))}  = \sqrt{1- x^2} . Logo ,

[cos(arcsin(x)) ]' = [ \sqrt{1- x^2}]' =   ...
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?