Derivadas de Funções

por **METEOS** » Qua Mai 07, 2014 17:20

Boa tarde,

Tenho uma dúvida no exercício 13, e gostava que alguém me explicasse como se faz:

http://postimg.org/image/b9hzq643z/

(O exercício encontrasse neste site)

Obrigado
Luís Soares

por **Russman** » Qua Mai 07, 2014 19:54

Nesses exercícios de "...dada reta tangente determine a função tal que..." ou "...dada função calcule a reta tangente no pon..." é conveniente calcular uma fórmula simples que, dado ponto, você é capaz de calcular rapidamente a equação da reta tangente ao gráfico da função, ou vise-versa.

Seja a equação da reta y(x) = ax+b

, $a,b \in \mathbb{R}$ . Sabemos que, se essa reta é tangente ao gráfico de f(x)

no ponto

, então

$a = \frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x} \left \right |_{x=x_0} = f'(x_0)$ .

Isto é, a constante

é a derivada da função calculada no ponto de tangência.

Daí, como em x=x_0

temos de ter y(x_0) = f(x_0)

, então

$y(x_0) = ax_0 + b = f(x_0) \Rightarrow b = f(x_0) - x_0 f'(x_0)$

e, portanto,

y(x) = f'(x_0) (x-x_0) + f(x_0)

é a reta tangente a f(x)

no ponto

.

Já que no exercício diz que y=-3x-1

em

então, por comparação,

f'(-2)x +2f'(-2) + f(-2) = -3x -1

de onde

e $2f'(-2) + f(-2) = -1 \Rightarrow -6 + f(-2) = -1 \Rightarrow f(-2) = 5$ .

Agora, como você sabe que o gráfico é de uma parábola, tome f(x) = ax^2 + bx+c

de onde

. OBS: este

e

não tem nada que ver com a dedução da equação da reta tangente que fizemos anteriormente.
Como e visível que o gráfico passa pelo ponto (0,0)

, então

.
Substituindo na relação encontrada, vem que

$2.a.(-2) + b = -3 \Rightarrow -4a + b = -3$
$a(-2)^2 + b.(-2) + 0 = -5 \Rightarrow 4a-2b=5$

Chegamos em um sistema 2x2

em

e

. Podemos resolve-lo de diversas formas. Eu acho mais rápido somar as duas equações, já que o coeficiente de

automaticamente se cancela. Fazendo isso,

$-b = 2 \Rightarrow b=-2$

e, portanto,

$a = \frac{-3 +2}{-4} = \frac{1}{4}$ .

Logo, a parábola é $f(x) = \frac{1}{4} x^2 -2x$

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