[Limites]

por **Pessoa Estranha** » Qui Ago 22, 2013 17:18

Olá pessoal, gostaria de ajuda para calcular o seguinte limite.
É um exercício que pede para usar a regra de L´Hospital.

Pensei que pudesse ser um caso de função limitada e então, o resultado seria o limite do sen(x), mas fiquei insegura com relação a isto. Contudo, ao tentar usar a regra de L´Hospital, tentei transformar a "expressão" num quociente e então, aplicar a regra; mas não ajudou em nada.

$\lim_{x\rightarrow0}{sen(x).ln(x)}$

(x tende a zero pela direita).

por **temujin** » Qui Ago 22, 2013 19:11

Tente escrever a fração como:

$\lim_{x \to 0} \frac{ln(x)}{\frac{1}{sen(x)}}$

E agora aplique l'Hospital (lembre-se que no denominador vc tem que usar a regra da cadeia):

$\lim_{x \to 0}\frac{-sen^2(x)}{x.cos(x)}$

Aplicando l'Hospital de novo:

$\lim_{x \to 0} \frac{-2sen(x)}{cos(x)+x.sen(x)} = 0$

por **Pessoa Estranha** » Qui Ago 22, 2013 23:13

Obrigada por responder! Bom, seguindo a sua sugestão, a minha resolução ficaria assim:

$\lim_{x\rightarrow0}{sen(x)ln(x)}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{ln(x)}{\frac{1}{sen(x)}}$

Como trata-se de uma indeterminação e conseguimos reescrever o limite num quociente, podemos aplicar L´Hospital.

$\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{0.senx-cosx.1}{{(senx)}^{2}}}}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{{(senx)}^{2}}{(-cosx).x}$

Novamente obtemos uma indeterminação, então:

$\lim_{x\rightarrow0}{\frac{senx.senx}{x.(-cosx)}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{cosx.senx+cosx.senx}{x(-cosx)}}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{2cosx.senx}{x(-cosx)}}$

$\lim_{x\rightarrow0}{\frac{-2senx}{x}}$

Indeterminação, então:

$\lim_{x\rightarrow0}{\frac{0.senx-2cosx}{1}}=\lim_{x\rightarrow0}{(-2cosx)}$

= -2.

Eu sei que está errado, mas qual é o meu erro?

por **temujin** » Sex Ago 23, 2013 00:06

Olá.

O problema está na segunda indeterminação. No numerador vc tem sen^2(x)

.

Pra facilitar, faça uma substituição: $u=sen(x) \Rightarrow u^2=sen^2(x)$

Derivando: (u^2)' = 2u = 2sen(x)

Além disto, no denominador vc tem x.cos(x)

, que tb precisa ser derivado (regra do produto):

(x.cos(x))' = cos(x)+x.sen(x)

Portanto, o limite fica:

$\lim_{x \to 0} \frac{-sen^2(x)}{x.cos(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-2sen(x)}{cos(x)+x.sen(x)} = \frac{-2.0}{1+0.0} = 0$

Não sei se ficou mto claro, qualquer dúvida é só perguntar.

por **e8group** » Sex Ago 23, 2013 00:52

Pensei de outra forma ,espero que esteja certo .

Escolhendo um n > 0

de modo que $x+1 > x > x/n + 1 , \forall x > 0$ . Como a função $f : x \mapsto f(x) = ln(x)$ é injetora (ela é estritamente crescente) então ln(x+1) > ln(x) > ln(x/n+1)

para

. Como $\lim_{x\to 0^+} |sin(x)| ln(x+1) = \lim_{x\to 0^+} sin(x) ln(x+1)$ e além disso ,

$\lim_{x\to 0^+} |sin(x)| ln(x+1) = \lim_{x\to 0^+} |sin(x)| \lim_{x\to 0^+} ln(x+1) = sin(0) ln(1) = 0 = \lim_{x\to 0^+} |sin(x)| \lim_{x\to 0^+} ln(x/n+1)= \lim_{x\to 0^+} |sin(x)|ln(x/n+1)$ .

Logo , pelo teorema do confronto $\lim_{x\to 0^+} sin(x) ln(x+1) = 0$ .

por **e8group** » Sex Ago 23, 2013 01:01

Agora que percebi ,a solução acima torna invalida para $x \to 0^+$ pois x +1 > x > x/n + 1 > 1

.Por favor desconsiderem .

por **Pessoa Estranha** » Sex Ago 23, 2013 15:02

Obrigada por terem respondido.

Eu entendo que facilitaria bastante se substituir ${(senx)}^{2}$ por uma variável

; contudo, não posso aplicar a regra do produto?

Eu pensei assim: ${(senx)}^{2}$ = senx.senx

$\Rightarrow (senx.senx)´$ = (senx)´. (senx) + (senx)´. (senx) = cosx.senx+cos.senx = 2cosx.senx

.

(ingnorem estes Â)

por **Pessoa Estranha** » Sex Ago 23, 2013 15:17

Percebi algo agora....

Na minha resolução (lá em cima), eu acho que esqueci de derivar o denominador (preocupei-me em derivar o numerador, mas esqueci do outro).

Vamos ver:

$\lim_{x\rightarrow0}{\frac{2cosx.senx}{((-cosx)+senx)}=$ $\frac{2.1.0}{-1+0}=\frac{0}{-1}=0$ .

Vejam!!!! Bom, esta resolução só pode estar certa se estiver correto aplicar a regra do produto em ${(senx)}^{2}$ . Pode?

Já pensou em esquecer de derivar o denominador na prova de Cálculo????!!!! :lol:

Obrigada!

por **Man Utd** » Sáb Ago 24, 2013 15:28

Pessoa Estranha escreveu:
Eu entendo que facilitaria bastante se substituir ${(senx)}^{2}$ por uma variável ; contudo, não posso aplicar a regra do produto?

pode sim

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