[Derivadas] como calcular

por **ma-mine** » Sáb Jul 13, 2013 15:24

considere a função real de variável real w'(w)=x.lnx
Determine w(x) sabendo que w(1)=0

Alguem me saberá ajudar nesta questão?

por **young_jedi** » Dom Jul 14, 2013 11:54

A equação é

w'(w)=x.ln(x)

ou

?
se for a segunda é so realizar a integral

por **ma-mine** » Dom Jul 14, 2013 15:54

a equação é w'(x)

e já agora, não a outra maneira de resolver sem utilizar a integral?

por **e8group** » Dom Jul 14, 2013 19:00

Se permite-me participar da conversar ,caso você ainda não aprendeu técnicas de integração.Alternativamente, o que podemos fazer é pensar em uma função que sua derivada é $x \cdot ln(x)$ .Neste caso é fácil determinar tal função . Comece observando que a função

é dada por $w(x) = p(x)\cdot ln(x) + q(x)$ onde p,q

são polinômios . Derivando então

em ordem a

, obtemos :

$w'(x) = [p(x)\cdot ln(x) + q(x)]' = p'(x) \cdot ln(x) + \frac{p(x)}{x} + q'(x) = x \cdot ln(x)$ . Comparando a igualdade ,só podemos ter , p'(x) = x

e $\frac{p(x)}{x} + q'(x) = 0$ .Assim , fica fácil ver que $p(x) = \frac{x^2}{2}$ (Por quê ? ) e portanto ,

$q'(x) = - \frac{1}{2} x$ ;donde segue $q(x) = - \frac{1}{4} x^2 + k$ onde

é uma constante (pois, $(- \frac{1}{4} x^2 + k) ' = -1/2x$ ) . Assim, a função

é definida por :

$w(x) = \frac{x^2}{2} ln(x) - \frac{1}{4} x^2 + k$ . Agora basta usar que w(0) = 1

para determinar k .

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