[Integral] Teorema fundamental Calculo

por **temujin** » Seg Jun 17, 2013 17:36

Olá pessoal.

Tô enroscado nesta questão.

Acho que tem que usar o Teorema fundamental do calculo, mas até agora não saiu, :evil:

Seja $f:[0;1] \rightarrow \mathbb{R}$ uma função contínua tal que $\int_0^x f(t)dt = \int_x^1t^2f(t)dt+\frac{x^6}{6}+\frac{x^8}{8}-\frac{c}{24}$ . Calcular o valor de c.

Alguma idéia?? :idea:

por **temujin** » Seg Jun 17, 2013 19:12

Já consegui

Vou deixar a resposta aqui, de repente alguém se interessa pelo assunto:

Usando o TFC nos dois lados:

$\frac{d}{dx} \left [\int_0^x f(t)dt \right ] = \frac{d}{dx} \left [\int_x^1 t^2f(t)dt +\frac{x^6}{6}+\frac{x^8}{8}-\frac{c}{24}\right ]$

$f(x).f'(x) -f(0).0= f(1).0 -x^2f(x)f'(x)+x^5+x^7 \Rightarrow f(x) = - x^2f(x)+x^5+x^7$

$f(x) = \frac{x^5+x^7}{1+x^2} = \frac{x^5(1+x^2)}{1+x^2} = x^5$

Substituindo de volta na integral:

$\\ \int_0^x t^5 dt = \int_x^1 t^2.t^5 dt + \frac{x^6}{6}+\frac{x^8}{8}-\frac{c}{24} \Rightarrow \frac{x^6}{6} = \frac{1}{8} - \frac{x^8}{8}+\frac{x^6}{6}+\frac{x^8}{8} - \frac{c}{24}$

$c=\frac{24}{8} = 3$

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Re: [Integral] Teorema fundamental Calculo

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