Ajuda para Limites

por **Optikool** » Seg Jan 07, 2013 12:04

Pessoal, Boas

Precisava que me ajudassem com este limite:

$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(e^x-1)(cos(x)-1)}{log(1+x^3)}$

Não estou a ver como se faz.

Cumprimentos,

Optikool

por **e8group** » Seg Jan 07, 2013 23:40

Observe primeiro os limites fundamentais :

$\lim_{x\to 0} sin(x)/x = 1 \hspace{8mm} (1)$

$\lim_{x\to 0} (1+ x)^{1/x} =e \hspace{8mm} (2)$

Com base nisto ,escrevendo o limite inicial como $ln(10) \cdot \lim_{x\to 0} \frac{(e^x -1)}{x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{(cos(x)-1)}{x^2} \cdot\lim_{x\to 0}\frac{x^3}{ln(x^3 + 1)}$ .

Vou deixar como exercício para você tentar manipular o limite inicial conforme acima .

Antes, deixo uma dica : $log(x^3 + 1) = \frac{ln(x^3 + 1)}{ln(10)}$ .

Prosseguindo , fazendo $e^x - 1 = \lambda$ implica $x = ln(\lambda +1 )$ .

Fazendo a susbstituição e pelo limite fundamental (2) , mostre que $\lim_{x\to 0} \frac{(e^x -1)}{x} = 1$

Entretanto , já o limite , $\lim_{x\to 0} \frac{(cos(x)-1)}{x^2}$ .

Perceba que $cos(x) = cos(\frac{x}{2} + {x}{2} ) = cos^2(x/2) - sin^2(x/2)$ .

Segue que , cos(x)-1 = cos^2(x/2) - sin^2(x/2) - 1 = - (1 - cos^2(x/2) ) - sin^2(x/2)

cos(x)-1 = cos^2(x/2) - sin^2(x/2) - 1 = - (1 - cos^2(x/2) ) - sin^2(x/2)

.

Usando-se cos^2(x/2) + sin^2(x/2) = 1

na expressão acima ,vem que :

cos(x)-1 = -2 sin^2(x/2)

. Assim , $\lim_{x\to 0} \frac{(cos(x)-1)}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{-2sin^2(x/2)}{x^2} = -\frac{1}{2}\lim_{x\to 0} \frac{sin^2(x/2)}{\frac{x^2}{4}} = -\frac{1}{2} \lim_{x\to 0}\left(\frac{sin(x/2)}{x/2}\right)^2$

Mostre que este limite é $- \frac{1}{2}$ usando limite fundamental (1)

Quano o último limite ,de forma análoga ao primeiro mostre usando-se (2) , que resulta 1 . Faça $x^3 = \theta$ .

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