massa do fio metálico.

por **ricardosanto** » Qui Dez 06, 2012 04:54

A massa do fio retilíneo que liga a origem em O e um ponto A= (1,1) e densidade dada por; f(x,y)= 3xy.

minha resposta:
como a reta parte da origem, temos que, O = (0,0) e portanto a variação do x é de 0 até 1.
coomo o x e o y são sempre iguais, eu tirei que a função é y=x.
a fórmula a ser usade é:
$\int_{0}^{1} f(x,y)\left|\left|r'(t) \right| \right|$
vamos aos cálculos
como o y= x temos que o vetor posição é
r(t) xi+xj
(obs. se puder explicar melhor como encontro o vetor posição, eu fico muito grato.)
Agora o vetor tangente:
r'(t)= 1i + 0j
a norma de r'(t)= $||r'(t)|| = \sqrt[]{ {(1i)}^{2} + {(0j)}^{2} }$ = 1

agora vou substituir y=x na densidade, obtendo: 3xx = 3x²
calculando a integral:
$\int_{0}^{1}{3x}^{2} * 1 dx$

$\frac{3}{3} \left[{x}^{3} \right]$

1*1³=1 <==Resposta.
Obrigado pela atenção.

por **young_jedi** » Sex Dez 07, 2012 12:54

amigo confesso que tambem não entendi muito bem a resolução

$\int_{0}^{1}f(x,y)|r'(t)|$

esta parte esta parte eu entendi e concordo com isto
mais note que se r é a reta em que x=y

então podemos dizer que x=y=t portanto

$r'(t)=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dx}{dt}\right)^2}dt$

portanto

$r'(t)=\sqrt{1^2+1^2}dt=\sqrt{2}dt$

então a integral ficaria

$\int_{0}^{1}3.t.t.\sqrt{2}dt$

$\sqrt{2}\int_{0}^{1}3.t^2.dt$

resolvendo

$=\sqrt2$

massa do fio metálico.

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