Integral

por **Claudin** » Sáb Dez 01, 2012 17:35

Utilize as propriedades das integrais para verificar as desigualdades sem calcular as integrais

a) $\int_{0}^{1}\sqrt[]{1+x^2}dx\leq\int_{0}^{1}\sqrt[]{1+x}dx$

b) $2\leq\int_{-1}^{1}\sqrt[]{1+x^2}dx\leq2\sqrt[]{2}$

c) $\frac{\sqrt[]{2}}{24}\Pi\leq\int_{\frac{\Pi}{6}}^{\frac{\Pi}{4}}cosxdx\leq\frac{\sqrt[]{3}}{24}\Pi$

Não sei como resolver o exercicio

por **LuizAquino** » Ter Dez 11, 2012 17:04

Claudin escreveu:Utilize as propriedades das integrais para verificar as desigualdades sem calcular as integrais

a) $\int_{0}^{1}\sqrt[]{1+x^2}dx\leq\int_{0}^{1}\sqrt[]{1+x}dx$

b) $2\leq\int_{-1}^{1}\sqrt[]{1+x^2}dx\leq2\sqrt[]{2}$

c) $\frac{\sqrt[]{2}}{24}\Pi\leq\int_{\frac{\Pi}{6}}^{\frac{\Pi}{4}}cosxdx\leq\frac{\sqrt[]{3}}{24}\Pi$

Não sei como resolver o exercicio

a) Para x no intervalo [0, 1], sabemos que:

$x^2 \leq x$

Somando 1 em ambos os lados dessa inequação, temos que:

$1 + x^2 \leq 1 + x$

Como x está no intervalo [0, 1], sabemos que 1+x^2

e 1 + x serão números positivos. Podemos então aplicar a raiz quadrada em ambos os lados da inequação:

$\sqrt{1 + x^2} \leq \sqrt{1 + x}$

Por fim, usando as propriedades das integrais, temos que:

$\int_0^1 \sqrt{1 + x^2}\,dx \leq \int_0^1 \sqrt{1 + x}\,dx$

b) Para x no intervalo [-1, 1], sabemos que:

$0 \leq x^2 \leq 1$

Somando 1 em ambos os lados dessa inequação, temos que:

$1 \leq 1 + x^2 \leq 2$

Como cada parte dessa inequação é um número positivo, podemos aplicar a raiz quadrada em cada uma delas:

$1 \leq \sqrt{1 + x^2} \leq \sqrt{2}$

Por fim, usando as propriedades das integrais, temos que:

$\int_{-1}^1 1\,dx \leq \int_{-1}^1 \sqrt{1 + x^2}\,dx \leq \int_{-1}^1 \sqrt{2}\,dx$

Agora tente concluir o exercício a partir daí.

c) Para x no intervalo $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right]$ , lembre-se que:

$\frac{\sqrt{2}}{2} \leq \cos x\leq \frac{\sqrt{3}}{2}$

Agora tente concluir o exercício considerando essa informação.

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