[Integral Dupla]

por **gedersoncruz** » Sáb Out 20, 2012 19:07

Calcule utilizando integrais duplas:

A área da região do plano xOy limitado pelas curvas ${x}^{2}+{y}^{2}=16$ e ${y}^{2}=6x$ .

Rta: $\frac{16\sqrt[2]{3}}{3}+4$

Tentei fazer e obtive os seguintes limites de integração porém não chego neste resultado. Utilizei os seguintes limites:

$\int_{0}^{2\sqrt[2]{3}}\int_{\frac{{y}^{2}}{3}}^{4-y}.dx.dy$

Desde já agradecido.

por **young_jedi** » Sáb Out 20, 2012 21:32

eu acho que a integral fica assim

$\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}\int_{\frac{y^2}{6}}^{\sqrt{4^2-y^2}}dx.dy$

se entendi bem é isso, qualquer coisa pergunte

por **gedersoncruz** » Dom Out 21, 2012 00:14

young_jedi eu tentei resolve esta integral mas não consegui obter o resultado certo, teria como você mostrar a solução?

por **young_jedi** » Dom Out 21, 2012 01:10

primeiro integrando em x ficaria

$\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}\sqrt{4^2-y^2}dy-\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}\frac{y^2}{6}dy$

a segunda integral fica

$\left(\frac{y^3}{18}\right)_{y=-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}=\frac{24\sqrt{3}}{18}+\frac{24\sqrt{3}}{18}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$

para a primeira integral faremos uma substituinção trigonometrica

$y=4sen\theta$

$dy=4cos\theta$

para $y=2\sqrt{3}$ temos $\theta=\frac{\pi}{3}$ e
para $y=-2\sqrt{3}$ temos $\theta=\frac{-\pi}{3}$

então a integral fica

$\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\sqrt{4^2-4^2sen^2\theta}.4cos\theta.d\theta$

$\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}4^2cos^2\theta.d\theta$

$4^2\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1+cos2\theta}{2}.d\theta$

$\left(16.\frac{\theta}{2}+16.\frac{sen2\theta}{4}\right)_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}=$

$\frac{16.\pi}{3}+4\sqrt{3}$

subtraindo o resultado das duas integrais

$\frac{16.\pi}{3}+4\sqrt{3}-\frac{8\sqrt{3}}{3}=\frac{16.\pi}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}$

por **gedersoncruz** » Dom Out 21, 2012 11:30

Qual identidade trigonométrica você utilizou para obter esta expressão $4^2 \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{-\pi}{3}}\frac{1+cos^2}{2}.d\theta$ ?

por **young_jedi** » Dom Out 21, 2012 11:38

$cos(\theta+\theta)=cos\theta.cos\theta-sen\theta.sen\theta$

$cos2\theta=cos^2\theta-sen^2\theta$

mais temos

$1=cos^2\theta+sen^2\theta$

somando as expressões

$1+cos2\theta=2cos^2\theta$

$cos^2\theta=\frac{1+cos2\theta}{2}$