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[Integral Dupla]

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Mensagempor gedersoncruz » Sáb Out 20, 2012 19:07

Calcule utilizando integrais duplas:

A área da região do plano xOy limitado pelas curvas {x}^{2}+{y}^{2}=16 e {y}^{2}=6x.

Rta: \frac{16\sqrt[2]{3}}{3}+4

Tentei fazer e obtive os seguintes limites de integração porém não chego neste resultado. Utilizei os seguintes limites:

\int_{0}^{2\sqrt[2]{3}}\int_{\frac{{y}^{2}}{3}}^{4-y}.dx.dy

Desde já agradecido.
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Re: [Integral Dupla]

Mensagempor young_jedi » Sáb Out 20, 2012 21:32

eu acho que a integral fica assim


\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}\int_{\frac{y^2}{6}}^{\sqrt{4^2-y^2}}dx.dy


se entendi bem é isso, qualquer coisa pergunte
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Re: [Integral Dupla]

Mensagempor gedersoncruz » Dom Out 21, 2012 00:14

young_jedi eu tentei resolve esta integral mas não consegui obter o resultado certo, teria como você mostrar a solução?
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Re: [Integral Dupla]

Mensagempor young_jedi » Dom Out 21, 2012 01:10

primeiro integrando em x ficaria

\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}\sqrt{4^2-y^2}dy-\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}\frac{y^2}{6}dy

a segunda integral fica

\left(\frac{y^3}{18}\right)_{y=-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}=\frac{24\sqrt{3}}{18}+\frac{24\sqrt{3}}{18}=\frac{8\sqrt{3}}{3}

para a primeira integral faremos uma substituinção trigonometrica

y=4sen\theta

dy=4cos\theta

para y=2\sqrt{3} temos \theta=\frac{\pi}{3} e
para y=-2\sqrt{3} temos \theta=\frac{-\pi}{3}

então a integral fica

\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\sqrt{4^2-4^2sen^2\theta}.4cos\theta.d\theta

\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}4^2cos^2\theta.d\theta

4^2\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1+cos2\theta}{2}.d\theta

\left(16.\frac{\theta}{2}+16.\frac{sen2\theta}{4}\right)_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}=

\frac{16.\pi}{3}+4\sqrt{3}

subtraindo o resultado das duas integrais

\frac{16.\pi}{3}+4\sqrt{3}-\frac{8\sqrt{3}}{3}=\frac{16.\pi}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}
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Re: [Integral Dupla]

Mensagempor gedersoncruz » Dom Out 21, 2012 11:30

Qual identidade trigonométrica você utilizou para obter esta expressão 4^2 \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{-\pi}{3}}\frac{1+cos^2}{2}.d\theta ?
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Re: [Integral Dupla]

Mensagempor young_jedi » Dom Out 21, 2012 11:38

cos(\theta+\theta)=cos\theta.cos\theta-sen\theta.sen\theta

cos2\theta=cos^2\theta-sen^2\theta

mais temos

1=cos^2\theta+sen^2\theta

somando as expressões

1+cos2\theta=2cos^2\theta

cos^2\theta=\frac{1+cos2\theta}{2}
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Re: [Integral Dupla]

Mensagempor gedersoncruz » Dom Out 21, 2012 11:45

Nossa! Muito obrigado. Já vou dar uma revisada na trigonometria. Valeu mesmo.
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.