[LIMITE] Problema com limite em R²

por **Caliani** » Sáb Set 15, 2012 17:38

Enunciado do exercício:

7. Determine se existe cada um dos limites abaixo. Justifique a existência ou não existência de cada um e determine o valor dos que existem.

(f) $\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{1 - \sqrt[]{1-{x}^{2}-{y}^{2}}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$

Eu sinceramente não sei o que fazer. Fiz $\lim_{(t)\rightarrow(0)}$ em f(t,0) e f(0,t), e depois tentei usar L'Hôpital, mas tenho problemas pra derivar o que sobra.

Alguém tem alguma ideia do que é preciso fazer? Agradeço desde já.

por **MarceloFantini** » Sáb Set 15, 2012 19:11

Note que $\frac{1 - \sqrt{1-x^2-y^2}}{x^2 +y^2} \cdot \frac{1 + \sqrt{1-x^2 -y^2}}{1 + \sqrt{1-x^2-y^2}} = \frac{x^2 +y^2}{(x^2 +y^2)(1 + \sqrt{1-x^2 -y^2})} = \frac{1}{1 + \sqrt{1-x^2-y^2}}$ .

Logo, aplicando o limite temos que

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{1 - \sqrt{1-x^2-y^2}}{x^2 +y^2} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{1}{1 + \sqrt{1-x^2-y^2}} = \frac{1}{2}$ .