Derivada de um Logaritmo.

por **Guadalupe** » Sex Jul 20, 2012 17:37

f(x)=log2(2x+4), onde 2 é a base.

No livro, essa questão tem como resposta 2/2x+4.log2(e), onde 2 é a base. Quando tento resolvê-la utilizando a regra da cadeia para logaritmos, só chego até 2/(2x+4)ln2. Gostaria de saber qual procedimento que devo seguir para obter a mesma resposta do livro.

Desde já, agradeço.

por **e8group** » Sex Jul 20, 2012 17:45

Guadalupe ,primeiramente você tentou a mudança de base no logaritmo ? tente expor em base e .Depois deriva-a .

por **Guadalupe** » Sex Jul 20, 2012 17:57

santhiago escreveu:Guadalupe ,primeiramente você tentou a mudança de base no logaritmo ? tente expor em base e .Depois deriva-a .

Desculpe, mas ainda não consegui acompanhar seu raciocínio.
Tentei fazer mudança de base mas não deu certo. =/
Você pode explicar um pouco mais?

por **e8group** » Sex Jul 20, 2012 18:13

sim , observe que :

$f(x) = log_2(2x+4) = \frac{1}{log_e 2}log_e(2x+4) = \frac{1}{ln 2}(ln(2x+4))$ , a parti daí f fica mais fácil de ser derivada de acordo com as regras .

Cabe a você agora tomar a derivada de primeira ordem de f .

Caso dúvidas com a respectiva derivada de f ,poste aqui ...

por **Guadalupe** » Sex Jul 20, 2012 18:40

santhiago escreveu:sim , observe que :

$f(x) = log_2(2x+4) = \frac{1}{log_e 2}log_e(2x+4) = \frac{1}{ln 2}(ln(2x+4))$ , a parti daí f fica mais fácil de ser derivada de acordo com as regras .

Cabe a você agora tomar a derivada de primeira ordem de f .

Caso dúvidas com a respectiva derivada de f ,poste aqui ...

Consegui assimilar o desenvolvimento dessa questão até a parte em que você a resolveu, mas a partir de 1/ln 2 . (ln(2x+4)) eu derivo pela regra da multiplicação?

por **e8group** » Sex Jul 20, 2012 20:36

Guadalupe , Vamos utilizar a regra da cadeia, para facilitar vamos reescrever f(x)

em função de uma composição de funções .Sendo assim considere por exemplo ,

h(x) = ln(x)

e

logo temos que $f(x) = \frac{h(g(x))}{ln(2)} \implies f'(x) = \frac{h'(g(x))g'(x)}{ln(2)}$ ou utilizando a notação de Leibniz $\frac{d}{dx} f(x) = \frac{\frac{d}{dg}h\frac{d}{dx}g}{ln(2)}$

Vale ressaltar que sua solução está correta pois $f'(x) = \frac{2}{(2x+4)ln(2)}$

por **Guadalupe** » Sex Jul 20, 2012 21:32

Cheguei a esse resultado usando a regra de derivação de logaritmos: (log a (u))' = u'/ulna.
Com mudança de base, assim como você falou, cheguei ao mesmo resultado: 2/(2x+4)ln2.

Só gostaria de saber qual o procedimento que o autor utilizou para chegar ao resultado 2/2x+4.log2(e) a partir do resultado que achei: 2/(2x+4)ln2.

Desde já, agradeço.

por **DanielFerreira** » Sex Jul 20, 2012 22:40

Passando p/ a base

como sugerido pelo Santhiago.

$y = \frac{log_e (2x + 4)}{log_e 2} ====> y = \frac{ln (2x + 4)}{ln 2}$

Tomemos como exemplo y = ln u

sua derivada é dada por $y' = \frac{1}{u}u'$

Segue que

$y' = \frac{\frac{1}{2x + 4} . 2 \times ln 2 - ln(2x + 4) . \frac{1}{2} \times 0}{ln^22}$

$y' = \frac{\frac{2ln2}{2x + 4}}{ln^22}$

$y' = \frac{\frac{2}{2x + 4}}{ln2}$

$y' = \frac{2}{(2x + 4)ln2}$

passando para a base 2

$y' = \frac{2}{(2x + 4)log_e 2}$

$y' = \frac{2}{(2x + 4)\frac{log_2 2}{log_2 e}}$

$y' = \frac{2}{\frac{2x + 4}{log_2 e}}$

$y' = \frac{2}{2x + 4} \times log_2 e$

Penso que a mudança de base tenha se tornado mais trabalhosa, veja o porquê:

$y = log_a u ====> y' = \frac{u'}{u}log_a e$

$y = log_2 (2x + 4) ====> y' = \frac{2}{(2x + 4)} \times log_2 e$

Espero também ter ajudado

por **fraol** » Sáb Jul 21, 2012 00:12

Boa noite,

Guadalupe escreveu:Cheguei a esse resultado usando a regra de derivação de logaritmos: (log a (u))' = u'/ulna.
Com mudança de base, assim como você falou, cheguei ao mesmo resultado: 2/(2x+4)ln2.

Só gostaria de saber qual o procedimento que o autor utilizou para chegar ao resultado 2/2x+4.log2(e) a partir do resultado que achei: 2/(2x+4)ln2.

Desde já, agradeço.

Mudando

para a base 2 você fica com: $ln 2 = \frac{log_{2}{2}}{log_{2}{e}} = \frac{1}{log_{2}{e}}$

Daí segue que $\frac{1}{ln2} = log_{2}{e}$ .

.

por **e8group** » Sáb Jul 21, 2012 11:34

danjr5 ,não sabia da propriedade para logaritmos não naturais.Acredito que pela definição de derivadas consigo provar a propriedade para logaritmos genéricos tais como [tex] log_a (b) [\tex] .