[Derivada] regra do produto, da cadeia e trigonometria

por **souzalucasr** » Sáb Mai 05, 2012 19:33

Olá pessoal,

Gostaria de ajuda na seguinte questão, que envolve derivadas com uso da regra do produto, regra da cadeia e trigonometria. Resolvi a questão em uma apostila, mas a solução está diferente do meu resultado e eu gostaria de verificar com vocês. Posto abaixo minha resolução e a resposta dada.

Determinar a derivada da expressão abaixo
$f(x)=x\cdot sen(\frac {\pi}{5}+3x)+cos^2(\frac {\pi}{5}+x)$

Resolvi da seguinte forma:

$f'(x)=(x\cdot sen(\frac {\pi}{5}+3x))' +(cos^2(\frac {\pi}{5}+x))'$ (derivada da soma = soma das derivadas)

Na primeira derivada, como é um produto, aplico a regra do produto. Na segunda, aplico a regra da cadeia. Sendo assim, temos:

$f'(x)=(x)'\cdot sen(\frac {\pi}{5}+3x)+x\cdot (sen(\frac {\pi}{5}+3x))'+(cos(\frac {\pi}{5}+x))'\cdot ((cos(\frac {\pi}{5}+x))^2)'$

$f'(x)=sen(\frac {\pi}{5}+3x)+x\cdot cos(\frac {\pi}{5}+3x)-sen(\frac {\pi}{5}+x)\cdot 2 cos(\frac {\pi}{5}+x)$

Então, minha resposta ficou assim:

$f'(x)=sen(\frac {\pi}{5}+3x)+x\cdot cos(\frac {\pi}{5}+3x)-2sen(\frac {\pi}{5}+x) cos(\frac {\pi}{5}+x)$

E a resposta da apostila é a seguinte:

$f'(x)=sen(\frac {\pi}{5}+3x)+3x\cdot cos(\frac {\pi}{5}+3x)-sen(\frac {2\pi}{5}+2x)$

Eu estou errado ou a resposta que está errada?

Desde já, muito obrigado pela ajuda de vocês!

por **LuizAquino** » Sáb Mai 05, 2012 19:54

souzalucasr escreveu:Olá pessoal,

Gostaria de ajuda na seguinte questão, que envolve derivadas com uso da regra do produto, regra da cadeia e trigonometria. Resolvi a questão em uma apostila, mas a solução está diferente do meu resultado e eu gostaria de verificar com vocês. Posto abaixo minha resolução e a resposta dada.

Determinar a derivada da expressão abaixo
$f(x)=x\cdot sen(\frac {\pi}{5}+3x)+cos^2(\frac {\pi}{5}+x)$

Resolvi da seguinte forma:

$f'(x)=(x\cdot sen(\frac {\pi}{5}+3x))' +(cos^2(\frac {\pi}{5}+x))'$ (derivada da soma = soma das derivadas)

Na primeira derivada, como é um produto, aplico a regra do produto. Na segunda, aplico a regra da cadeia. Sendo assim, temos:

$f'(x)=(x)'\cdot sen(\frac {\pi}{5}+3x)+x\cdot (sen(\frac {\pi}{5}+3x))'+(cos(\frac {\pi}{5}+x))'\cdot ((cos(\frac {\pi}{5}+x))^2)'$

$f'(x)=sen(\frac {\pi}{5}+3x)+x\cdot cos(\frac {\pi}{5}+3x)-sen(\frac {\pi}{5}+x)\cdot 2 cos(\frac {\pi}{5}+x)$

Você esqueceu de aplicar a regra da cadeia no termo $\textrm{sen}\,\left(\frac{\pi}{5}+3x\right)$ . Note que:

$\left[\textrm{sen}\,\left(\frac{\pi}{5}+3x\right)\right]^\prime = \left[\cos \left(\frac{\pi}{5}+3x\right)\right]\left(\frac{\pi}{5}+3x\right)^\prime = 3\cos \left(\frac{\pi}{5}+3x\right)$

Já no termo $\cos^2\left(\frac {\pi}{5}+x\right)$ temos que aplicar a regra da cadeia duas vezes. Note que:

$\left\{\left[\cos \left(\frac {\pi}{5}+x\right)\right]^2\right\}^\prime = 2\left[\cos \left(\frac {\pi}{5}+x\right)\right]\left[\cos\left(\frac {\pi}{5}+x\right)\right]^\prime$

$= 2\left[\cos \left(\frac {\pi}{5}+x\right)\right]\left[-\,\textrm{sen}\,\left(\frac {\pi}{5}+x\right)\right]\left[\left(\frac {\pi}{5}+x\right)\right]^\prime$

$= 2\left[\cos \left(\frac {\pi}{5}+x\right)\right]\left[-\,\textrm{sen}\,\left(\frac {\pi}{5}+x\right)\right]\cdot 1$

$= -2\cos \left(\frac {\pi}{5}+x\right)\,\textrm{sen}\,\left(\frac {\pi}{5}+x\right)$

Por fim, usando a identidade trigonométrica $2\,\textrm{sen}\,\alpha\cos \alpha = \,\textrm{sen}\, 2\alpha$ , temos que:

$-2\cos \left(\frac {\pi}{5}+x\right)\,\textrm{sen}\,\left(\frac {\pi}{5}+x\right) = -\,\textrm{sen}\,\left(\frac {2\pi}{5} + 2x\right)$