Limites trigonométricos (subtração de tangentes)

por **Arthur_Bulcao** » Seg Abr 02, 2012 17:27

Mais uma vez, eu com dúvidas.
Sem usar L'Hospital, poderiam me ajudar a resolver:

$\lim_{x\rightarrow a}\;\frac{tg(x)-tg(a)}{x-a}$

Não tenho a mínima noção de como começar.
Obrigado.

por **Arthur_Bulcao** » Seg Abr 02, 2012 18:04

Saquei!!

Lembrei que
$tg(a-b)=\frac{\emph{tg(a)-tg(b)}}{1+tg(a).tg(b)}\;\Rightarrow\\\;\emph{tg(a)-tg(b)}=tg(a-b).[1+tg(a).tg(b)]$

e dá pra substituir:
$\lim_{x\rightarrow a}\;\frac{\emph{tg(x)-tg(a)}}{x-a} \Rightarrow Substituindo \Rightarrow\,\lim_{x\rightarrow a}\;\frac{\emph{tg(a-b).[1+tg(a).tg(b)]}}{x-a}$

Usando uma das propriedades de limites, temos:
$\lim_{x\rightarrow a}\;\frac{tg(a-b)}{x-a}\,.\,\lim_{x\rightarrow a}[1+tg(a).tg(b)]$

Em suma, o resultado é

$\lim_{x\rightarrow a}\;\frac{tg(a-b)}{x-a}\,.\,\lim_{x\rightarrow a}[1+tg(a).tg(b)]\:=\:sec^2a$

por **MarceloFantini** » Seg Abr 02, 2012 19:28

Sua resolução está mal escrita. Primeiro, você esqueceu de trocar o b por x, segundo, você não mostrou porque $\lim_{x \to a} \frac{tg(a-x)}{x-a} = 1$ .