Como resolver limite exponencial

por **joaofonseca** » Sex Mar 30, 2012 12:59

Seja este limite:

$\lim_{x \to 2}\left(\frac{e^{x-2}-1}{x^3-3x^2+x+2}\right)$

Já tentei mudar a variável:

y=x-2

, deste modo quando $x \to 2$ , $y \to 0$ . Mas não consegui chegar ao limite especial, que a expressão sugere.

Que alteração de variável tenho de fazer?

Obrigado

por **Fabio Wanderley** » Sex Mar 30, 2012 15:26

Eu tentei o seguinte:

Fazendo:
$j = {e}^{x-2}-1$
$x \to 2 \Rightarrow j \to 0$

Isolando a variável x para aplicá-la no limite:

$j + 1 = {e}^{x-2}$
$ln(j+1) = ln {e}^{x-2}$
ln(j+1) = x-2

Desenvolvendo o limite:

$\lim_{x \to 2}\left(\frac{e^{x-2}-1}{x^3-3x^2+x+2}\right)$

$\lim_{x \to 2}\left(\frac{e^{x-2}-1}{(x-2)(x^2-x-1)}\right)$

$\lim_{j \to 0}\left(\frac{j}{[ln(j+1)+2-2].([ln(j+1)+2]^2-[ln(j+1)+2]-1)}\right)$

$\lim_{j \to 0}{\left(\frac{[ln(j+1)].([ln(j+1)+2]^2-[ln(j+1)+2]-1)}{j}\right)}^{-1}$

Passando o limite "para dentro" (é permitido haja vista que a função é contínua):

${\left(\lim_{j \to 0}\frac{1}{j}.ln(j+1).\lim_{j \to 0}([ln(j+1)+2]^2-[ln(j+1)+2]-1)\right)}^{-1}$

${\left(\lim_{j \to 0}{ln(j+1)}^{\frac{1}{j}}.\lim_{j \to 0}([ln(j+1)+2]^2-[ln(j+1)+2]-1)\right)}^{-1}$

A função ln é contínua em todo ponto de seu domínio:

${\left(ln\left(\lim_{j \to 0}{(j+1)}^{\frac{1}{j}}\right).\lim_{j \to 0}([ln(j+1)+2]^2-[ln(j+1)+2]-1)\right)}^{-1}$

${\left(ln\left(e\right).([ln(0+1)+2]^2-[ln(0+1)+2]-1)\right)}^{-1}$

${(1.([0+2]^2-[0+2]-1))}^{-1}$

${(1)}^{-1}$

Agora aguardo a correção!