[limite] o cálculo está correto?

por **Fabio Wanderley** » Seg Mar 26, 2012 23:21

Cheguei ao resultado do livro, mas gostaria de confirmar se não há algum erro no desenvolvimento.

$\lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt[]{x}+\sqrt[3]{x}}{{x}^{2}+ 3}$

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x^\frac{1}{2}+x^\frac{1}{3}}{x^2 + 3}$

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x^\frac{1}{2}. (1 + \frac{1}{x^\frac{1}{6}})}{x^2 + 3x^0}$

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x^\frac{1}{2}. (1 + \frac{1}{x^\frac{1}{6}})}{x^2 . (1 + \frac{3}{x^2})}$

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x^\frac{-3}{2}. (1 + \frac{1}{x^\frac{1}{6}})}{1 + \frac{3}{x^2}}$

$\lim_{x \to +\infty}\frac{(\frac{1}{x})^\frac{3}{2}. (1 + \frac{1}{x^\frac{1}{6}})}{1 + \frac{3}{x^2}}$

$(\lim_{x \to +\infty}(\frac{1}{x}))^\frac{3}{2}.\lim_{x \to +\infty}\frac{(1 + \frac{1}{x^\frac{1}{6}})}{1 + \frac{3}{x^2}} = 0 . 1 = 0$

por **LuizAquino** » Ter Mar 27, 2012 12:52

Fabio Wanderley escreveu:Cheguei ao resultado do livro, mas gostaria de confirmar se não há algum erro no desenvolvimento.

$\lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt[]{x}+\sqrt[3]{x}}{{x}^{2}+ 3}$

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x^\frac{1}{2}+x^\frac{1}{3}}{x^2 + 3}$

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x^\frac{1}{2}. (1 + \frac{1}{x^\frac{1}{6}})}{x^2 + 3x^0}$

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x^\frac{1}{2}. (1 + \frac{1}{x^\frac{1}{6}})}{x^2 . (1 + \frac{3}{x^2})}$

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x^\frac{-3}{2}. (1 + \frac{1}{x^\frac{1}{6}})}{1 + \frac{3}{x^2}}$

$\lim_{x \to +\infty}\frac{(\frac{1}{x})^\frac{3}{2}. (1 + \frac{1}{x^\frac{1}{6}})}{1 + \frac{3}{x^2}}$

$(\lim_{x \to +\infty}(\frac{1}{x}))^\frac{3}{2}.\lim_{x \to +\infty}\frac{(1 + \frac{1}{x^\frac{1}{6}})}{1 + \frac{3}{x^2}} = 0 . 1 = 0$

Está correto.

Mas você poderia ser mais "econômico" na sua resolução (isto é, usar menos passos). Bastava dividir o numerador e o denominador por x².

$\lim_{x \to +\infty}\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}\right) : x^2}{\left({x}^{2}+ 3\right):x^2} = \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{\frac{x}{x^4}}+\sqrt[3]{\frac{x}{x^6}}}{1 + \frac{3}{x^2}}$

$\lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{\frac{1}{x^3}}+\sqrt[3]{\frac{1}{x^5}}}{1 + \frac{3}{x^2}} = \frac{\sqrt{0} + \sqrt{0}}{1 + 0} = 0$