[Integração por partes] Não consigo chegar no resultado.

por **renanrdaros** » Ter Mar 20, 2012 16:32

Um foguete acelera pela queima do combustível a bordo; assim, sua massa diminui com o tempo. Suponha que a massa inicial do foguete no lançamento (incluindo o combustível) seja m, que o combustível seja consumido a uma taxa r, e que os gases de exaustão sejam ejetados a uma velocidade constante ${v}_{e}$ (relativa ao foguete). Um modelo para a velocidade do foguete a um tempo t é dado pela seguinte equação:

$v(t) = -gt - {v}_{e} ln\frac{m - rt}{m}$

onde g é a aceleração da gravidade, e t não é muito grande. Se g = 9.8 m/s², m = 30000 kg, r = 160 kg/s e ${v}_{e}$ = 3000 m/s, ache a altitude do foguete 1 minuto após o lançamento.

$\int_{}^{} \left(-9.8t - 3000ln\frac{375 - 2t}{375} \right) dt$ $= -4.9{t}^{2} + 1500\left[\left(375 - 2t \right)ln\left(\frac{375 - 2t}{375} \right)-\left(375 - 2t \right) \right] + c$

Resolvendo a integral indefinida cheguei no resultado acima, mas ao aplicar os limites de integração o resultado final dá sempre negativo.

por **LuizAquino** » Ter Mar 20, 2012 20:51

renanrdaros escreveu:Um foguete acelera pela queima do combustível a bordo; assim, sua massa diminui com o tempo. Suponha que a massa inicial do foguete no lançamento (incluindo o combustível) seja m, que o combustível seja consumido a uma taxa r, e que os gases de exaustão sejam ejetados a uma velocidade constante ${v}_{e}$ (relativa ao foguete). Um modelo para a velocidade do foguete a um tempo t é dado pela seguinte equação:

$v(t) = -gt - {v}_{e} ln\frac{m - rt}{m}$

onde g é a aceleração da gravidade, e t não é muito grande. Se g = 9.8 m/s², m = 30000 kg, r = 160 kg/s e ${v}_{e}$ = 3000 m/s, ache a altitude do foguete 1 minuto após o lançamento.

renanrdaros escreveu: $\int_{}^{} \left(-9.8t - 3000ln\frac{30000 - 2t}{30000} \right) dt$ $= -4.9{t}^{2} + 1500\left[\left(375 - 2t \right)ln\left(\frac{375 - 2t}{375} \right)-\left(375 - 2t \right) \right] + c$

Resolvendo a integral indefinida cheguei no resultado acima, mas ao aplicar os limites de integração o resultado final dá sempre negativo.

1) Note que r = 160 kg/s, mas você substituiu por 2. Reveja os cálculos da integral indefinida.

2) Qual é o intervalo de integração que você está aplicando? Você está tomando o cuidado de colocar o intervalo de integração em segundos?

por **renanrdaros** » Qua Mar 21, 2012 01:43

LuizAquino escreveu:1) Note que r = 160 kg/s, mas você substituiu por 2. Reveja os cálculos da integral indefinida.

2) Qual é o intervalo de integração que você está aplicando? Você está tomando o cuidado de colocar o intervalo de integração em segundos?

1 - Já editei. Os cálculos estavam certos; eu errei ao digitar aqui no fórum. Na verdade eu fatorei e simplifiquei o logaritmando.

2 - Estou usando o intervalo [0; 60s].

por **nietzsche** » Qua Mar 21, 2012 02:05

Analisando a integral, não precisa usar integração por partes. Uma mudança de váriavel é suficiente. Lembrando que essa integral pode ser separada na soma de duas e "chamando" o argumento do logaritmo de uma nova variável u(t), vai facilitar.
Um site pra testar se suas contas estão certas é:
http://www.wolframalpha.com/
Ele calcula integrais.

por **renanrdaros** » Qua Mar 21, 2012 09:17

nietzsche,

Eu já havia comparado o meu resultado com o resultado obtido pelo wolfram alpha. A integração está correta, o problema é que, ao aplicar os limites, não chego ao resultado esperado.

por **LuizAquino** » Qua Mar 21, 2012 12:10

renanrdaros escreveu:Eu já havia comparado o meu resultado com o resultado obtido pelo wolfram alpha. A integração está correta, o problema é que, ao aplicar os limites, não chego ao resultado esperado.

Qual o valor que você está chegando?

por **renanrdaros** » Qua Mar 21, 2012 13:10

$\int_{0}^{60} v(t) dt = 382500ln(\frac{255}{375}) + 162360 = 14884.1$

Refiz os cálculos e consegui chegar ao resultado correto!
Obrigado pela ajuda!