[Limite e Continuidade] Por favor Uma explicação detalhada

por **lendersonfisica** » Sex Fev 24, 2012 17:32

]Olá. Boa tarde. Gostaria que alguem me ajuda-se a desenvolver uma explicação bem detalhada da questão a seguir, utilizando as coordenadas polares para analisar a existência do limite no ponto (0,0);

$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}= \frac{x²y}{x^4+y²}$

Obrigado Estou aguardando respostas. E tambem tentando desenvolver a questão.
Desde já Grato.

By: Lenderson Francisco Pedro José Souza da Silva

por **LuizAquino** » Sáb Fev 25, 2012 20:02

lendersonfisica escreveu:Gostaria que alguem me ajuda-se a desenvolver uma explicação bem detalhada da questão a seguir, utilizando as coordenadas polares para analisar a existência do limite no ponto (0,0);

$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}= \frac{x^2y}{x^4+y^2}$

Eu presumo que o limite seja:

$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^2y}{x^4+y^2}$

Note que você escreveu o símbolo "=" em um local inadequado.

Como você já deve ter feito, primeiro você precisa transferir esse limite para as coordenadas polares. Para isso, basta utilizar $x = r\cos \theta$ , $y = r\textrm{sen}\, \theta$ e fazer r tender para 0.

Temos então que:

$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{x^2y}{x^4+y^2} = \lim_{r\to 0} \frac{\left(r\cos \theta\right)^2 r\,\textrm{sen}\, \theta}{\left(r\cos \theta\right)^4+\left(r\,\textrm{sen}\, \theta\right)^2} = \lim_{r\to 0} \frac{r\cos^2 \theta \,\textrm{sen}\, \theta}{r^2\cos^4 \theta + \,\textrm{sen}^2\, \theta}$

Agora basta escolher dois caminhos para os quais o limite seja distinto.

Escolha por exemplo o caminho tal que os pontos se aproximam de (0, 0) pela reta polar $\theta = \pi$ .

Em seguida, escolha o caminho tal que os pontos se aproximam de (0, 0) pela espiral $r = \theta$ .