Derivada da função

por **Antonio Azevedo** » Ter Fev 21, 2012 22:36

Olá.

Estou analizando alguns exercicios para compreender melhor as funções.
Estou iniciando....

A função f (x) = x² no ponto xo = 2. Este é um exercicio que compreendi sua logica de racionalização.

Porém não consigo chegar na derivada de f(x) = 2x² estou com dificuldade na hora de racionalizar..... e encontrar a derivada da função

Agradeço se puderem me auxiliar.

Antonio

por **fraol** » Ter Fev 21, 2012 22:44

Se você derivou x^2

, então você estava derivando 1 x^2

. Você pode proceder da mesma forma para 2 x^2

. Perceba que a única diferença é o coeficiente de x^2

. Assim você pode proceder igualmente, seja derivando pela definição ou usando a regra da derivada da potência.

Se tiver dúvida, manda de volta.

ps: Voltei a editar este post pois estive pensando que a sua dúvida pode estar relacionada com o uso da definição de derivada, então vamos tentar assim:

Seja f(x) = 2x^2

, estamos querendo f'(x)

que pela definição é:

$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Nesse ponto devemos substituir f(x+h)

por

e

por

, assim:
$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2(x+h)^2 - 2x^2}{h}$

Agora devemos expandir o quadrado perfeito (x+h)^2

que é igual a x^2+2xh +h^2

, então:

$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2(x^2+2xh +h^2) - 2x^2}{h}$ que desenvolvendo fica assim:

$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2x^2+4xh +2h^2 - 2x^2}{h}$ , cancelamos 2x^2

e colocamos

em evidência:

$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ h(4x + 2h)}{h}$ ,

Agora vem uma parte importante, como h tende a 0 mas não é zero então podemos cancelar o h e ficamos com:

$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} 4x + 2h$ . Se h tende a 0 então 2h também tende a 0 e, no limite, 2h = 0.

Portanto f'(x) = 4x

.

por **Antonio Azevedo** » Qua Fev 22, 2012 07:42

ok. Muito obrigado mesmo. f (x) = x² resolvi assim mesmo, mas com o x tendendo a 2.

Mas aquela outra regra da derivada da função potencia y = x^n
y = n . x^n-1

Qual a relação desta propriendade em relação a anterior que explicaste? ou não tem relação.

Lim de h tendendo a 0. Sempre será tendendo a 0?

por **fraol** » Qua Fev 22, 2012 08:59

Esse método é o cálculo da derivada usando a própria definição. Contudo, não é um método prático e, na maioria dos cálculos, a gente usa outras formas para calcular. Nesse caso, como você citou, poderia usar a regra da potência ( $f'(x) = 2 ( 2x^{2-1} ) = 4x$ ). O que vale salientar é que todas as regras de cálculo são dedutíveis a partir da definição, inclusive o $n . x^{n-1}$ como você pode observar nesse problema.

De qualquer forma, após você encontrar a função derivada, substitui-se o valor de

para o qual é pedida a derivada.

Quanto ao

, trata-se do pequeno incremento que adicionamos a x para efeito de aplicação da definição. Em alguns livros você encontrará $\Delta x$ no lugar de

, o que importa é que independente do símbolo usado esse valor é o incremento infinitesimal que se aplica a

e portanto é um valor muito pequeno. Os bons livros de cálculo trazem isso, em geral, de forma mais detalhada.

por **LuizAquino** » Qua Fev 22, 2012 23:13

Antonio Azevedo escreveu:Estou analizando alguns exercicios para compreender melhor as funções.
Estou iniciando...

A função f (x) = x² no ponto xo = 2. Este é um exercicio que compreendi sua logica de racionalização.

Porém não consigo chegar na derivada de f(x) = 2x² estou com dificuldade na hora de racionalizar..... e encontrar a derivada da função

Eu gostaria de recomendar que você assista a videoaula "10. Cálculo I - Função Derivada". Ela está disponível em meu canal:

http://www.youtube.com/LCMAquino

Eu espero que essa videoaula possa lhe ajudar a entender melhor esse assunto.