INequações

por **gicapo** » Seg Jan 09, 2012 21:12

Já agora Renato precisava se conseguisses a resolução de :

Calcule a derivada total de f(x,y)=x^2+4y^2
Quando
x(t)=sin(alfat), y(t)= €cos(alfat)
onde alfa,€, são números reais positivos.
Diaga ainda se existe algum valor de € para o qual a derivada total se anula para todo o t. Se existir, calcule esse valor (ou um deles, se não for único).

por **Renato_RJ** » Ter Jan 10, 2012 05:48

Boa noite Gicapo !!

Vou fazer apenas uma modificação, vou mudar o símbolo que você colocou em y(t)

para k, então o exercício ficará assim (sem alteração no resultado final, é só uma mudança de nome):

f(x,y) = x^2 + 4y^2

Onde:

$x(t) = \sin(\alpha t) \; , \; y(t) = k \cos(\alpha t)$

Como você pede a derivada total de f(x,y)

, vou considerar que você deseje derivar a função f em relação a variável t, então temos o caso seguinte:

$(1) \frac{df(x,y)}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} + 8y \frac{dy}{dt}$

Onde:

$\frac{dx}{dt} = \alpha \cos (\alpha t) \; , \; \frac{dy}{dt} = - k \alpha \sin(\alpha t)$

Substituindo na equação (1), temos:

$\frac{df(x,y)}{dt} = 2x \alpha \cos(\alpha t) - 8y k \alpha \sin(\alpha t) \Rightarrow \frac{df(x,y)}{dt} = 2\alpha(\sin(\alpha t))(\cos(\alpha t)) - 8\alpha(k \cos(\alpha t))(k \sin(\alpha t))$

O que nos dá:

$\frac{df(x,y)}{dt} = 2\alpha \sin(\alpha t) \cos(\alpha t) - 8 k^2 \alpha \cos(\alpha t) \sin(\alpha t)$

Colocando $2 \alpha \sin(\alpha t) \cos(\alpha t)$ em evidência, temos:

$2 \alpha \sin(\alpha t) \cos(\alpha t) \cdot(1 - 4k^2)$

O valor para k tal que a derivada total se anule é aquele que leva a equação

a zero, achemos as raízes dessa equação:

$1 - 4k^2 = 0 \Rightarrow -4k^2 = - 1 \Rightarrow 4k^2 = 1 \Rightarrow k^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow k = \pm \frac{1}{2}$

Espero não ter cometido algum engano...

[ ]'s
Renato.

por **gicapo** » Qua Jan 11, 2012 10:18

Renato_RJ escreveu:Boa noite Gicapo !!

Vou fazer apenas uma modificação, vou mudar o símbolo que você colocou em para k, então o exercício ficará assim (sem alteração no resultado final, é só uma mudança de nome):

Onde:

$x(t) = \sin(\alpha t) \; , \; y(t) = k \cos(\alpha t)$

Como você pede a derivada total de , vou considerar que você deseje derivar a função f em relação a variável t, então temos o caso seguinte:

$(1) \frac{df(x,y)}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} + 8y \frac{dy}{dt}$

Onde:

$\frac{dx}{dt} = \alpha \cos (\alpha t) \; , \; \frac{dy}{dt} = - k \alpha \sin(\alpha t)$

Substituindo na equação (1), temos:

$\frac{df(x,y)}{dt} = 2x \alpha \cos(\alpha t) - 8y k \alpha \sin(\alpha t) \Rightarrow \frac{df(x,y)}{dt} = 2\alpha(\sin(\alpha t))(\cos(\alpha t)) - 8\alpha(k \cos(\alpha t))(k \sin(\alpha t))$

O que nos dá:

$\frac{df(x,y)}{dt} = 2\alpha \sin(\alpha t) \cos(\alpha t) - 8 k^2 \alpha \cos(\alpha t) \sin(\alpha t)$

Colocando $2 \alpha \sin(\alpha t) \cos(\alpha t)$ em evidência, temos:

$2 \alpha \sin(\alpha t) \cos(\alpha t) \cdot(1 - 4k^2)$

O valor para k tal que a derivada total se anule é aquele que leva a equação a zero, achemos as raízes dessa equação:

$1 - 4k^2 = 0 \Rightarrow -4k^2 = - 1 \Rightarrow 4k^2 = 1 \Rightarrow k^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow k = \pm \frac{1}{2}$

Espero não ter cometido algum engano...

[ ]'s
Renato.

MUITO OBRIGADO RENATO

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