[Limites] Me ajudem!!

por **carvalhothg** » Qua Nov 23, 2011 12:04

Como resolvo este limite para encontrar os valores de a e b. Não estou conseguindo, sempre chego na indeterminação de $\infty-\infty$

- Se $f(x)=\frac{3a{x}^{2}-5}{2-x}+bx-5+a$ , calcule a e b de modo que:

1) $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=2$

2) $\lim_{x\rightarrow-\infty}=+\infty$

por **LuizAquino** » Qua Nov 23, 2011 14:22

carvalhothg escreveu:Como resolvo este limite para encontrar os valores de a e b. Não estou conseguindo, sempre chego na indeterminação de $\infty-\infty$

carvalhothg escreveu: Se $f(x)=\frac{3a{x}^{2}-5}{2-x}+bx-5+a$ , calcule a e b de modo que:

carvalhothg escreveu:1) $\lim_{x\to \infty}f(x)=2$

Note que:

$\lim_{x\to \infty}f(x) = \lim_{x\to \infty} \frac{3a{x}^{2}-5}{2-x}+bx-5+a$

$= \lim_{x\to \infty} \frac{3a{x}^{2}-5 + (2-x)(bx-5+a)}{2-x}$

$= \lim_{x\to \infty} \frac{(3a - b)x^2 + (- a + 2b + 5)x + 2a - 15}{2-x}$

Se 3a - b = 0, então temos que:

$\lim_{x\to \infty} \frac{(- a + 2b + 5)x + 2a - 15}{2-x} = \lim_{x\to \infty} \frac{[(- a + 2b + 5)x + 2a - 15]:x}{(2-x):x}$

$= \lim_{x\to \infty} \frac{(- a + 2b + 5) + \frac{2a - 15}{x}}{\frac{2}{x}-1}$

$= \frac{(- a + 2b + 5) + 0}{0-1} = a - 2b - 5$

Basta então tomar a e b tais que:

$\begin{cases} 3a - b = 0 \\ a - 2b - 5 = 2 \end{cases}$

Portanto, para a = -7/5 e b = -21/5 temos que:

$\lim_{x\to \infty}f(x)=2$

carvalhothg escreveu:2) $\lim_{x\to -\infty}f(x) =+\infty$

Se a = 0, então temos que:

$\lim_{x\to -\infty} \frac{3\cdot 0 \cdot x^2-5}{2-x}+bx-5+0 = \lim_{x\to \infty} \frac{-5}{2-x} + bx - 5$

$= \lim_{x\to -\infty} \frac{-5}{2-x} + \lim_{x\to -\infty} bx - 5$

$= 0 + \lim_{x\to -\infty} bx - 5$

$= \lim_{x\to -\infty} bx - 5$

Note que para qualquer número b que seja negativo (isto é, b < 0), temos que:

$\lim_{x\to -\infty} bx - 5 = +\infty$

Portanto, basta tomar a = 0 e b < 0 para que:

$\lim_{x\to -\infty} f(x) = +\infty$

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